Question

稱滿足以下兩個條件的有窮數(shù)列a₁，a₂，…，a_n為n（n=2，3，4，…）階“期待數(shù)列”：
①a₁+a₂+a₃+…+a_n=0；②|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=1．
（1）若等比數(shù)列{a_n}為2k（k∈N^*）階“期待數(shù)列”，求公比q及{a_n}的通項公式；
（2）若一個等差數(shù)列{a_n}既是2k（k∈N^*）階“期待數(shù)列”又是遞增數(shù)列，求該數(shù)列的通項公式；
（3）記n階“期待數(shù)列”{a_n}的前k項和為S_k（k=1，2，3，…，n）：
（i）求證：|S_k|≤

1

2

；
（ii）若存在m∈{1，2，3，…，n}使S_m=

1

2

，試問數(shù)列{S_k}能否為n階“期待數(shù)列”？若能，求出所有這樣的數(shù)列；若不能，請說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由n階“期待數(shù)列”的定義，結(jié)合已知條件①求得等比數(shù)列的公比q=-1，代入②求得a1=±

1

2k

，則等比數(shù)列的通項公式可求；
（2）設(shè)出等差數(shù)列的公差，結(jié)合①②求出公差，再由前k項和等于-

1

2

求出首項，則等差數(shù)列的通項公式可求；
（3）（i）由n階“期待數(shù)列”{a_n}的前k項和中所有項之和為0，所有項的絕對值的和為1，求得所有非負(fù)數(shù)項的和

1

2

，所有負(fù)數(shù)項的和為-

1

2

，從而得到答案；
（ii）借助于（i）的結(jié)論知，數(shù)列{S_k}（k=1，2，3，…，n）的前k項和為T_k 滿足|Tk|≤

1

2

，再由Sm=

1

2

，
得到|S₁|+|S₂|+|S₃|+…+|S_n|=S₁+S₂+S₃+…+S_n．從而說明S₁+S₂+S₃+…+S_n=0與|S₁|+|S₂|+|S₃|+…+|S_n|=1不能同時成立．

解答： （1）解：若q=1，由①得，a₁•2k=0，得a₁=0，矛盾；
若q≠1，則由①，a1+a2+…+a2k=

a1(1-q2k)

1-q

=0，得q=-1，
由②得，a1=

1

2k

或a1=-

1

2k

，
∴q=-1，數(shù)列{a_n}的通項公式是ai=

1

2k

•(-1)i-1(i=1，2，…，2k)，
或ai=-

1

2k

•(-1)i-1(i=1，2，…，2k)；
（2）解：設(shè)等差數(shù)列a₁，a₂，a₃，…，a_2k（k≥1）的公差為d，d＞0，
∵a₁+a₂+…+a_2k=0，∴

2k•(a1+a2k)

2

=0，
∴a₁+a_2k=a_k+a_k+1=0，
∵d＞0，由a₁+a_k+1=0得，a_k＜0，a_k+1＞0，
由①②得，a1+a2+…+ak=-

1

2

，ak+1+ak+2+…+a2k=

1

2

，
兩式相減得，k²d=1，∴d=

1

k2

，
又a1•k+

k(k-1)

2

•d=-

1

2

，得a1=-

2k-1

2k2

．
∴數(shù)列{a_n}的通項公式是a_i=a₁+（i-1）•d=-

2k-1

2k2

+(i-1)•

1

k2

=

-2k-1+2i

2k2

；
（3）證明：記a₁，a₂，…，a_n中所有非負(fù)數(shù)項的和為A，所有負(fù)數(shù)項的和為B，
則A+B=0，A-B=1，得A=

1

2

，B=-

1

2

，
（i）-

1

2

=B≤Sk≤A=

1

2

，即|Sk|≤

1

2

（ii）若存在m∈{1，2，3，…，n}使Sm=

1

2

，由前面的證明過程知：
a₁≥0，a₂≥0，…，a_m≥0，a_m+1≤0，a_m+2≤0，…，a_n≤0，
且am+1+am+2+…+an=-

1

2

，
如果{S_k}是n階“期待數(shù)列”，
記數(shù)列{S_k}（k=1，2，3，…，n）的前k項和為T_k ，
則由（i）知，|Tk|≤

1

2

，
∴Tm=S1+S2+…+Sm≤

1

2

，而Sm=

1

2

，
∴S₁=S₂=…=S_m-1=0，從而a1=a2=…=am-1=0，am=

1

2

．
又am+1+am+2+…+an=-

1

2

，
則S_m+1，S_m+2，…，S_n≥0．
∴|S₁|+|S₂|+|S₃|+…+|S_n|=S₁+S₂+S₃+…+S_n．
S₁+S₂+S₃+…+S_n=0與|S₁|+|S₂|+|S₃|+…+|S_n|=1不能同時成立．
∴對于有窮數(shù)列a₁，a₂，…，a_n（n=2，3，4，…），若存在m∈{1，2，3，…，n}使Sm=

1

2

，
則數(shù)列{a_i}的和數(shù)列{S_k}（k=1，2，3，…，n）不能為n階“期待數(shù)列”．

點評：本題是新定義題，考查了數(shù)列與不等式的結(jié)合，解答此題的關(guān)鍵是明確題意，充分借助于題設(shè)中給出的兩個條件，明確數(shù)列中的非負(fù)數(shù)項和負(fù)數(shù)項，是難度較大的題型．