給定橢圓，稱圓心在坐標原點，半徑為的圓是橢圓的“伴隨圓”.若橢圓C的一個焦點為，其短軸上的一個端點到距離為．

（Ⅰ）求橢圓及其“伴隨圓”的方程；

（Ⅱ）若過點的直線與橢圓C只有一個公共點，且截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為，求的值；

（Ⅲ）過橢圓C“伴隨圓”上一動點Q作直線，使得與橢圓C都只有一個公共點，試判斷直線的斜率之積是否為定值,并說明理由.

 

【解析】

試題分析：（1）利用橢圓標準方程及其a,b,c的關(guān)系即可得出橢圓方程，進而得到“伴隨圓”的方程；

（2）利用點到直線的距離公式、、及直線與橢圓相切的性質(zhì)即可得出；

（3）利用（2）的結(jié)論及點Q的坐標滿足“伴隨圓”的方程即可證明.

試題解析：（1）由題意得：，半焦距，則，所以橢圓C的方程為：，

“伴隨圓”方程為.

（2）設(shè)過點P且與橢圓有一個交點的直線為：，則

，整理得，所以，化簡整理得 ①

又因為直線截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為，則有化簡得

②

聯(lián)立①②解得，，，所以.

（3）當直線都有斜率時，其中，設(shè)經(jīng)過點且與橢圓只有一個公共點的直線為，由，消去y得到，即

，所以，化簡整理得，因為，所以有，設(shè)當直線的斜率分別為，因為與橢圓都只有一個公共點，所以滿足方程，因而，即直線的斜率之積為定值-1.

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題.

 

練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，在上導(dǎo)數(shù)>0恒成立，則下列不等式成立的是( ).

A.f(-3)<f(-1)<f(2) B.f(-1)<f(2)<f(-3)

C.f(2)<f(-3)<f(-1) D.f(2)<f(-1)<f(-3)

 

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函數(shù)的定義域為，對任意則

的解集為

A． B．（，+）

C．（，） D．（，+）

 

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已知正三角形內(nèi)切圓的半徑與它的高的關(guān)系是：，把這個結(jié)論推廣到空間正四面體，則正四面體內(nèi)切球的半徑與正四面體高的關(guān)系是 ．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2015屆甘肅省高二下學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題

函數(shù)的零點個數(shù)是

A．1 B．2 C．3 D．4

 

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若不等式對任意都成立，則實數(shù)取值范圍是 ．

 

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已知函數(shù).若，使

成立，則稱為函數(shù)的一個“生成點”.函數(shù)的“生成點”共有（ ）

A.1個 B .2個 C .3個 D .4個

 

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某學(xué)校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比為，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的

學(xué)生中抽取容量為50的樣本，則應(yīng)從高二年級抽取 名學(xué)生．

 

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下列結(jié)論：

①若命題命題則命題是假命題；

②已知直線則的充要條件是；

③命題“若則”的逆否命題為：“若則”

其中正確結(jié)論的序號是（把你認為正確結(jié)論的序號都填上）

 

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