Question

已知函數(shù)f（x）=2ax²+4x-3-a，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最大值；
（Ⅱ）如果函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上存在零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，則f（x）=2x²+4x-4=2（x²+2x）-4=2（x+1）²-6．
因?yàn)閤∈[-1，1]，所以x=1時(shí)，f（x）的最大值f（1）=2．…（3分）
（Ⅱ）（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=4x-3，顯然在區(qū)間[-1，1]上有零點(diǎn)，所以a=0時(shí)，命題成立．…（4分）
（2）當(dāng)a≠0時(shí)，令△=16+8a（3+a）=8（a+1）（a+2）=0，解得a=-1，a=-2．   …（5分）
①當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=-2x²+4x-2=-2（x-1）²，f（x）的零點(diǎn)為 x=1，滿足條件．
②當(dāng) a=-2時(shí)，f(x)=-4x2+4x-1=-4(x-

1

2

)2，求得函數(shù)的零點(diǎn) x=

1

2

，滿足條件．
所以當(dāng) a=0，-1，-2時(shí)，y=f（x）均恰有一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間[-1，1]上．…（7分）
③當(dāng)f（-1）•f（1）=（a-7）（a+1）≤0，即-1≤a≤7時(shí)，
y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上必有零點(diǎn)．…（8分）
④若y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上有兩個(gè)零點(diǎn)，則

a＞0 △=8(a+1)(a+2)＞0 -1＜- 1 a ＜1 f(-1)≥0 f(1)≥0

，
或

a＜0 △=8(a+1)(a+2)＞0 -1＜- 1 a ＜1 f(-1)≤0 f(1)≤0.

．…（12分）
解得a≥7或a＜-2．
綜上所述，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上存在極值點(diǎn)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a≥-1，或a≤-2}，
故答案為 {a|a≥-1，或a≤-2}．…（13分）