Question

在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O為正方形A₁B₁C₁D₁的中心，點(diǎn)P在棱CC₁上，且CC₁=2PC．
（1）求直線(xiàn)AP與平面BCC₁B₁所成角的余弦值；
（2）求二面角P-AD₁-D的平面角的余弦值；
（3）求點(diǎn)O到平面AD₁P的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線(xiàn)與平面所成的角,點(diǎn)、線(xiàn)、面間的距離計(jì)算

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BCC₁B₁的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求直線(xiàn)AP與平面BCC₁B₁所成角的余弦值；
（2）求出平面AD₁P的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角P-AD₁-D的平面角的余弦值；
（3）利用點(diǎn)到面的距離公式，即可求點(diǎn)O到平面AD₁P的距離．

解答： 解：（1）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，------------------（1分）
則A（2，0，0），P（0，2，1），∴

AP

=（-2，2，1），
而平面BCC₁B₁的一個(gè)法向量是

DC

=(0，2，0)，
又設(shè)直線(xiàn)AP與平面BCC₁B₁所成角為θ----------（3分）
∴sinθ=|

AP. DC

| AP || DC |

|=

2

3

，
∴cosθ=

5

3

，即直線(xiàn)AP與平面BCC₁B₁所成角的余弦值為

5

3

---------（6分）
（2）

AP

=(-2，2，1)，

AD

=(-2，0，2)，設(shè)

n

=(x，y，z)是平面AD₁P的一個(gè)法向量，
∴

-2x+2y=0 -2x+2z=0

，令x=1，則z=1，y=

1

2

，
∴

n

=(1，

1

2

，1)，…8分
設(shè)二面角P-AD₁-D的平面角是α，
則cosα=|

DC. n

| DC || n |

|=

1

3

…11分
（3）∵

D1O

=(1，1，0)，
∴點(diǎn)O到平面AD₁P的距離d=|

| DO . n |

| n |

|=1…15分

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間角，考查點(diǎn)到平面距離的計(jì)算，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．