【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知P點(diǎn)到兩定點(diǎn)D（﹣2，0），E（2，0）連線斜率之積為- ．
（1）求證：動(dòng)點(diǎn)P恒在一個(gè)定橢圓C上運(yùn)動(dòng)；
（2）過(guò) 的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，過(guò)O的直線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，若直線AB與直線MN斜率之和為零，求證：直線AM與直線BN斜率之和為定值．

【答案】
（1）證明：設(shè)P（x，y），由題意可得kPDkPE=﹣ ，

即有 =﹣ ，

化為 =1


（2）解：設(shè)過(guò)F的直線為x=my+ ，

代入橢圓方程x2+2y2=4，

可得（2+m2）y2+2 my﹣2=0，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

即有y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ ，

x1=my1+ ，x2=my2+ ，

由題意可得，過(guò)O的直線x=﹣my交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，

解得M（﹣ ， ），N（ ，﹣ ），

可得kAM+kBN= + ，

通分后的分子=x2y1﹣ x2﹣ y1+x1y2+ x1+ y2+

=2my1y2+ （1+y2）+ （x1﹣x2）+ （y2﹣y1）+

=﹣ ﹣ + （y1﹣y2）+ （y2﹣y1）+ =0．

即有直線AM與直線BN斜率之和為定值0．


【解析】（1）設(shè)P（x，y），由題意可得kPDkPE=﹣ ，運(yùn)用直線的斜率公式，化簡(jiǎn)即可得到所求軌跡方程；（2）設(shè)過(guò)F的直線為x=my+ ，代入橢圓方程x2+2y2=4，設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），運(yùn)用韋達(dá)定理，點(diǎn)滿足直線方程，再由過(guò)O的直線x=﹣my交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，求得M，N的坐標(biāo)，運(yùn)用直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到直線AM與直線BN斜率之和為定值0．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（3）設(shè) ，試問(wèn)是否存在正整數(shù)p，q（1＜p＜q）使b1 ， bp ， bq成等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的數(shù)組（p，q）；若不存在，說(shuō)明理由．

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