Question

12．證明：方程x⁵+x-1=0只有一個(gè)正根．

Answer 1

分析 先證明方程x⁵+x-1=0在區(qū)間（0，1）內(nèi)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)解，可先函數(shù)f（x）=x⁵+x-1在（0，1）內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，再結(jié)合根的存在性定理即可．

解答 證明：考查函數(shù)f（x）=x⁵+x-1，
∵f′（x）=5x⁴+1＞0，
∴函數(shù)f（x）=x⁵+x-1在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，
又f（0）=-1＜0，f（1）=1＞0，
∴函數(shù)f（x）=x⁵+x-1在區(qū)間（0，1）有一個(gè)零點(diǎn)x₀．
∴方程x⁵+x-3=0在區(qū)間（0，1）內(nèi)有唯一的實(shí)數(shù)解，
∴方程x⁵+x-1=0只有一個(gè)正根．

點(diǎn)評(píng) 本題考查根的存在性定理、用二分法求根，考查計(jì)算能力．