Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-2ax+2+b（a≠0）在區(qū)間[2，3]上有最大值5，最小值2；
（1）求a，b的值；
（2）若a＜0，g（x）=f（x）-2^mx在[2，4]上無零點，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由于二次函數(shù)f（x）=ax²-2ax+2+b的對稱軸為x=1，
當(dāng)a＞0時，函數(shù)在區(qū)間[2，3]上是增函數(shù)，由 求得 ．
當(dāng)a＜0時，函數(shù)在區(qū)間[2，3]上是減函數(shù)，由 解得 ．（8分）
綜上可得，，或 ．
（2）由（1）的結(jié)論及a＜0，則有，得f（x）=-x²+2x+5，
故 g（x）=f（x）-2^mx=-x²+（2-2^m）x+5，對稱軸，
所以在區(qū)間[2，4]上單調(diào)遞減．（12分）
又g（4）=-16+（2-2^m）×4+5＜0，g（x）=f（x）-2^mx在[2，4]上無零點，
所以有g(shù)（2）＜0，即5-2×2^m＜0，2^m，得，
故m的取值范圍為（ ，+∞）．（16分）
分析：（1）由于二次函數(shù)的對稱軸為x=1，當(dāng)a＞0時，由函數(shù)的單調(diào)性可得 ，由此求得a，b的值．當(dāng)a＜0時，由函數(shù)的單調(diào)性可得，由此求得a，b的值．綜上可得結(jié)論．
（2）由（1）的結(jié)論及a＜0，可得函數(shù)g（x）在區(qū)間[2，4]上單調(diào)遞減，由g（4）＜0，結(jié)合題意可得g（2）＜0，即5-2×2^m＜0，由此求得 m的取值范圍．
點評：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．