Question

已知等差數列{a_n}的公差大于0，且a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的兩根，數列{b_n}的前n項的和為S_n，且S_n=1-

1

2

b_n．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；  
（2）記c_n=a_n•b_n，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知條件得a₃=5，a₅=9，由此求出a_n=a₅+（n-5）d=2n-1；由S_n=1-

1

2

b_n，推導出{b_n}是等比數列，b1=

2

3

，q=

1

3

，由此求出b_n=

2

3

•(

1

3

)n-1=

2

3n

．
（2）由（1）知c_n=a_nb_n=

2(2n-1)

3n

=

4n-2

3n

，由此利用錯位相減法能求出數列{c_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）∵等差數列{a_n}的公差大于0，且a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的兩根，
∴a₃=5，a₅=9，
∴d=

9-5

5-3

=2，∴a_n=a₅+（n-5）d=2n-1，
又當n=1時，b1=S1=1-

1

2

b1，解得b1=

2

3

，
當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=

1

2

(bn-1-bn)，
∴

bn

bn-1

=

1

3

，n≥2，
∴{b_n}是等比數列，b1=

2

3

，q=

1

3

，
∴b_n=

2

3

•(

1

3

)n-1=

2

3n

．
（2）由（1）知c_n=a_nb_n=

2(2n-1)

3n

=

4n-2

3n

，
∴Tn=

2

3

+

6

32

+

10

33

+…+

4n-2

3n

，①

1

3

Tn=

2

32

+

6

33

+

10

34

+…+

4n-2

3n+1

，②
①-②，得

2

3

Tn=

2

3

+

4

32

+

4

33

+…+

4

3n

-

4n-2

3n+1

=

2

3

+4×

1 9 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

4n-2

3n+1

=2-

4n+10

3n+1

，
∴T_n=3-

2n+5

3n

．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．