如圖所示，過拋物線y=
1
4
x2的焦點F的直線l與拋物線和圓x2+（y-1）2=1交于A，B，C，D四點，則
AB
•
DC
=
 
．
考點：平面向量數(shù)量積的運算,拋物線的定義
專題：平面向量及應(yīng)用,直線與圓
分析：通過求拋物線焦點坐標(biāo)和圓心坐標(biāo)，會發(fā)現(xiàn)圓心在焦點上，所以由圖可得：|
AB
|=|AF|-1，根據(jù)拋物線的定義，A點到F的距離，等于它到準(zhǔn)線的距離，所以|AF|=yA+1，所以就得到|
AB
|=yA；同樣的辦法去表示|
DC
|，會得出|
DC
|=yD，所以
AB
•
DC
=-yA•yD，所以到這你會想到根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)直線l的斜率為k，求出方程為y=kx+1，在這需要解x帶人拋物線方程，這時你會發(fā)現(xiàn)需要討論k=0和k≠0，到這下邊的就比較簡單了．
解答： 解：拋物線y=
1
4
x2的焦點為：（0，1），準(zhǔn)線方程是：y=-1，圓x2+（y-1）2=1的圓心是：（0，1），半徑：1，所以圓心在焦點上，所以：
|
AB|
=|AF|-|BF|=yA，|
DC
|=|DF|-|CF|=yD所以
AB
•
DC
=-|
AB
||
DC
|=-yA•yD則：
當(dāng)直線l垂直于y軸時，yA=yD=1，所以
AB
•
DC
=-1；
當(dāng)直線l不垂直y軸時，設(shè)直線l的斜率為k，且k≠0，則直線方程為y=kx+1，所以x=
y-1
k
，帶入拋物線方程并整理得：y2-（2+4k2）y+1=0；
由根與系數(shù)的關(guān)系得：y1•y2=1，所以
AB
•
DC
=-1，
故答案為：-1．
點評：本題比較巧的地方是|
AB
|=|AF|-|BF|， 同樣|
DC
|=|DF|-|CF|，知道這點，這道題基本就可求解出來了．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x2-14x+45=0的兩根，數(shù)列{bn}的前n項的和為Sn，且Sn=1-
1
2
bn．
（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；  
（2）記cn=an•bn，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知平行四邊形ABCD的兩條對角線交于點E，設(shè)
AB
=
e1
，
AD
=
e2
，用
e1
，
e2
表示
ED
的表達(dá)式為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)y=
x
2
-sinx 的單調(diào)遞減區(qū)間是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若數(shù)列{an}中an=-n2+6n+7，則其前n項和Sn取最大值時，n=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ＜π）的部分圖象如圖所示，則A=
 
，ω=
 
，φ=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的通項公式an=
1
n
+
n+1
，則它的前24項和S24=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

曲線y=xex+2x+1在點（0，1）處的斜率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

將A、B、C、D、E排成一排，要求在排列中，順序為“ABC”或“CAB”（可以不相鄰），這樣的排法有
 
種．

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同步練習(xí)冊答案