Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+x+a

x

，x∈[1，+∞），若對(duì)任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：轉(zhuǎn)化思想,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：可將條件轉(zhuǎn)化為：對(duì)任意x∈[1，+∞），x²+x+a＞0恒成立，構(gòu)造二次函數(shù)，注意對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性求出最小值，即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：函數(shù)f（x）=

x2+x+a

x

，且對(duì)任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，
即對(duì)任意x∈[1，+∞），x²+x+a＞0恒成立，
令g（x）=x²+x+a，x∈[1，+∞），
則對(duì)任意x∈[1，+∞），g（x）_min＞0，
∵g（x）圖象的對(duì)稱軸為x=-

1

2

，
∴[1，+∞）為增區(qū)間，
∴g（1）為最小值且為2+a，
∴2+a＞0即a＞-2．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為：（-2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問題可通過轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值來解決，可通過函數(shù)的單調(diào)性求出最值，注意掌握這種方法．