Question

已知兩點(diǎn)F₁(-1,0)及F₂(1,0),點(diǎn)P在以F₁、F₂為焦點(diǎn)的橢圓C上,且|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|構(gòu)成等差數(shù)列.

（1）求橢圓C的方程;
（2）如圖,動(dòng)直線l:y=kx+m與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),點(diǎn)M,N是直線l上的兩點(diǎn),且F₁M⊥l, F₂N⊥l.求四邊形F₁MNF₂面積S的最大值.

Answer 1

（1）
（2）

解析試題分析：(1)依題意,設(shè)橢圓的方程為.
構(gòu)成等差數(shù)列,
, .
又,.
橢圓的方程為   
(2) 將直線的方程代入橢圓的方程中,
得 
由直線與橢圓僅有一個(gè)公共點(diǎn)知,,

化簡(jiǎn)得: 
設(shè),, 
(法一)當(dāng)時(shí),設(shè)直線的傾斜角為,
則,
,      , 
,當(dāng)時(shí),,,.
當(dāng)時(shí),四邊形是矩形, 
所以四邊形面積的最大值為 
(法二), 
. 
. 
四邊形的面積,                        
                                                   
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),,故. 
所以四邊形的面積的最大值為 
考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系
點(diǎn)評(píng)：主要是考查了橢圓方程，以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用，屬于中檔題。