Question

設(shè)

a

=(sin2x-1，cos2x)，

b

=(3，

3

)
①若

a

的單位向量，求x；
②設(shè)f(x)=

a

•

b

，求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：①運用向量模的定義，解方程，即可得到x；
②運用向量的數(shù)量積的坐標表示，結(jié)合兩角和的正弦公式，化簡f（x），再由正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，解不等式即可得到．

解答： 解：①由

(sin2x-1)2+(cos2x)2

=1⇒sin2x=

1

2

，
∴2x=2kπ+

π

6

或2x=2kπ+

5π

6

，
解得x=kπ+

π

12

或x=kπ+

5π

12

(k∈z)；
②f(x)=

a

•

b

=3(sin2x-1)+

3

cos2x
=2

3

（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）-3
=2

3

sin（2x+

π

6

）-3，
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，解得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z，
故f（x）單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z．

點評：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標公式及模的公式，考查三角函數(shù)的化簡，考查正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及運用，屬于中檔題．