Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinωxcosωx-cos²ωx-

1

2

（ω＞0，x∈R）的圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為π．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若△ABC三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且c=

7

，f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)題意確定出ω的值，確定出f（x）解析式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間即可；
（Ⅱ）由f（C）=0，求出C的度數(shù)，利用正弦定理化簡(jiǎn)sinB=3sinA，由余弦定理表示出cosC，把各自的值代入求出a與b的值即可．

解答： 解：f（x）=

3

2

sin2ωx-

1

2

（1+cos2ωx）-

1

2

=sin（2ωx-

π

6

）-1，
∵f（x）圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為π，
∴

2π

2ω

=π，即ω=1，
則f（x）=sin（2x-

π

6

）-1，
（Ⅰ）令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，得到-

π

6

+kπ≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，
則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

π

6

+kπ，kπ+

π

3

]，k∈Z；
（Ⅱ）由f（C）=0，得到f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0，即sin（2x-

π

6

）=1，
∴2C-

π

6

=

π

2

，即C=

π

3

，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：b=

asinB

sinA

，
把sinB=3sinA代入得：b=3a，
由余弦定理及c=

7

得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

a2+9a2-7

6a2

=

1

2

，
整理得：10a²-7=3a²，
解得：a=1，
則b=3．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．