Question

已知函數(shù)f（x）=（x+1）ln（x+1），g（x）=kxe^x（k為常數(shù)，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)），g′（x）為g（x）的導函數(shù)，且g′（0）=1，
（1）求k的值；
（2）對任意x＞0，證明：f（x）＜g（x）；
（3）若對所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：導數(shù)的運算,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）先求導，再代入值計算即可；
（2）構造函數(shù)G（x），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可證明；
（3）構造函數(shù)令h（x）=（x+1）ln（x+1）-ax，求導，再分類討論，即可求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）g'（x）=k（x+1）e^x所以g'（0）=k=1…（3分）
（2）證明：令G（x）=e^x-x-1，G′（x）=e^x-1，當x∈（0，+∞），G′（x）＞0，
所以當x∈（0，+∞）時G（x）單調(diào)遞增，從而有G（x）＞G（0）=0，x＞0；
所以e^x＞x+1＞0⇒x＞ln（x+1）＞0，
∴xe^x＞（x+1）ln（x+1），
所以當x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）；…（8分）
（3）令h（x）=（x+1）ln（x+1）-ax，
則h′（x）=1-a+ln（x+1），令h′（x）=0，解得x=e^a-1-1，
（i）當a≤1時，所以x=e^a-1-1＜0，從而對所有x＞0，h′（x）＞0；h（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)．
故有x＞0，h（x）＞h（0）=0
即當a≤1時，對于所有x≥0，都有f（x）≥ax．
（ii）當a＞1時，對于0＜x＜e^a-1-1，h′（x）＜0，所以h（x）在（0，e^a-1-1）上是減函數(shù)，所以對于0＜x＜e^a-1-1有h（x）＜h（0）=0，
即f（x）＜ax，
所以，當a＞1，不是所有的x≥0都有f（x）≥ax成立，
綜上，a的取值范圍是（-∞，1]…（14分）

點評：本題考查了導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關系以及參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題．