【題目】已知函數(shù).
(1)求曲線在處的切線方程;
(2)函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn),求的值;
(3)若不等式對任意正實(shí)數(shù)恒成立,求正整數(shù)的取值集合.
【答案】(1) ;(2) 的值為0或3 ;(3) .
【解析】
(1)由的值可得切點(diǎn)坐標(biāo),求出的值,可得切線斜率,利用點(diǎn)斜式可得曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,然后根據(jù)零點(diǎn)存在定理可判斷在區(qū)間、上分別存在一個(gè)零點(diǎn),從而可得結(jié)果;(3)當(dāng)時(shí),不等式為恒成立;當(dāng)時(shí),不等式可化為,可得,當(dāng)時(shí),不等式可化為,可得,結(jié)合(2),綜合三種情況,從而可得結(jié)果.
(1),所以切線斜率為,
又,切點(diǎn)為,所以切線方程為.
(2)令,得,
當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,
所以的極小值為,又,
所以在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn),此時(shí);
因?yàn)?/span>,,
所以在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn),此時(shí).綜上,的值為0或3.
(3)當(dāng)時(shí),不等式為.顯然恒成立,此時(shí);
當(dāng)時(shí),不等式可化為,
令,則,
由(2)可知,函數(shù)在上單調(diào)遞減,且存在一個(gè)零點(diǎn),
此時(shí),即
所以當(dāng)時(shí),,即,函數(shù)單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),,即,函數(shù)單調(diào)遞減.
所以有極大值即最大值,于是.
當(dāng)時(shí),不等式可化為,
由(2)可知,函數(shù)在上單調(diào)遞增,且存在一個(gè)零點(diǎn),同理可得.
綜上可知.
又因?yàn)?/span>,所以正整數(shù)的取值集合為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直三棱柱中,,,D為線段AC的中點(diǎn).
(1)求證::
(2)求直線與平面所成角的余弦值;
(3)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè),。
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(3)當(dāng)時(shí),設(shè)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)?萍夹〗M在計(jì)算機(jī)上模擬航天器變軌返回試驗(yàn),設(shè)計(jì)方案如圖:航天器運(yùn)行(按順時(shí)針方向)的軌跡方程為,變軌(即航天器運(yùn)行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞)后返回的軌跡是以軸為對稱軸、為頂點(diǎn)的拋物線的實(shí)線部分,降落點(diǎn)為.觀測點(diǎn)、同時(shí)跟蹤航天器.
(1)求航天器變軌后的運(yùn)行軌跡所在的曲線方程;
(2)試問:當(dāng)航天器在軸上方時(shí),觀測點(diǎn)、測得離航天器的距離分別為多少時(shí),應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,離心率為的橢圓過點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線上存在點(diǎn),且過點(diǎn)的橢圓的兩條切線相互垂直,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若對任意,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年2月13日《煙臺市全民閱讀促進(jìn)條例》全文發(fā)布,旨在保障全民閱讀權(quán)利,培養(yǎng)全民閱讀習(xí)慣,提高全民閱讀能力,推動文明城市和文化強(qiáng)市建設(shè).某高校為了解條例發(fā)布以來全校學(xué)生的閱讀情況,隨機(jī)調(diào)查了200名學(xué)生每周閱讀時(shí)間(單位:小時(shí))并繪制如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求這200名學(xué)生每周閱讀時(shí)間的樣本平均數(shù)和中位數(shù)(的值精確到0.01);
(2)為查找影響學(xué)生閱讀時(shí)間的因素,學(xué)校團(tuán)委決定從每周閱讀時(shí)間為,的學(xué)生中抽取9名參加座談會.
(i)你認(rèn)為9個(gè)名額應(yīng)該怎么分配?并說明理由;
(ii)座談中發(fā)現(xiàn)9名學(xué)生中理工類專業(yè)的較多.請根據(jù)200名學(xué)生的調(diào)研數(shù)據(jù),填寫下面的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為學(xué)生閱讀時(shí)間不足(每周閱讀時(shí)間不足8.5小時(shí))與“是否理工類專業(yè)”有關(guān)?
閱讀時(shí)間不足8.5小時(shí) | 閱讀時(shí)間超過8.5小時(shí) | |
理工類專業(yè) | 40 | 60 |
非理工類專業(yè) |
附:().
臨界值表:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
<> | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)).在極坐標(biāo)系(與平面直角坐標(biāo)系取相同的長度單位,且以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸非負(fù)半軸為極軸)中,直線的方程為.
(1)求圓的普通方程及直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)直線與圓相交于、兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),求.
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