Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₁作圓：x²+y²=

a2

4

的切線，切點為E，延長F₁E交雙曲線右支于點P，若|OP|=

1

2

|F₁F₂|（O為坐標(biāo)原點），則雙曲線的離心率為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由切線的性質(zhì)可得OE⊥PF₁，|OP|=

1

2

|F₁F₂|=c=|OF₁|，則E為PF₁的中點，運用中位線定理可得|PF₂|=a，再由雙曲線定義可得|PF₁|=3a，再由勾股定理和離心率公式計算即可得到．

解答： 解：∵|OF|=c，|OE|=

a

2

，
由于OE⊥PF₁，|OP|=

1

2

|F₁F₂|=c=|OF₁|，
則E為PF₁的中點，
|PF₂|=2|OE|=a，
由雙曲線的定義可得|PF₁|=|PF₂|+2a=3a，
由于OE∥PF₂，
則PF₁⊥PF₂，
則|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，
即為9a²+a²=4c²，即10a²=4c²，
則e²=

c2

a2

=

10

4

，
即有e=

10

2

．
故答案為：

10

2

．

點評：本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)及應(yīng)用，考查中位線定理和切線的性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題．