Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，其前n項和為S_n，且當n≥2時，a_n+1S_n-1-a_nS_n=0．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{S_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）令bn=

9an

(an+3)(an+1+3)

，記數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，證明對于任意的正整數(shù)n，都有

3

8

≤Tn＜

7

8

成立．

Answer 1

分析：（1）由S_n與a_n的關(guān)系得a_n+1S_n-1-a_nS_n=（S_n+1-S_n）S_n-1-（S_n-S_n-1）S_n=S_n+1S_n-1-S_n²整理得S_n²=S_n-1S_n+1s所以數(shù)列{S_n}是等比數(shù)列
（2）由（1）先求出S_n=4^n-1接著當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3×4^n-2驗證n=1也成立，可求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（3）把a_n的通項公式代入bn=

9an

(an+3)(an+1+3)

得b_n的通項公式求出T_n，利用其單調(diào)性與放縮法證明不等式

3

8

≤Tn＜

7

8

．

解答：（Ⅰ）證明：當n≥2時，
a_n+1S_n-1-a_nS_n=（S_n+1-S_n）S_n-1-（S_n-S_n-1）S_n=S_n+1S_n-1-S_n²，
所以S_n²=S_n-1S_n+1（n≥2）．
又由S₁=1≠0，S₂=4≠0，可推知對一切正整數(shù)n均有S_n≠0，
∴數(shù)列{S_n}是等比數(shù)列．                                   
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知等比數(shù)列{S_n}的首項為1，公比為4，
∴S_n=4^n-1．當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3×4^n-2，又a₁=S₁=1，
∴an=

1 (n=1) 3×4n-2，(n≥2).

（Ⅲ）證明：當n≥2時，a_n=3×4^n-2，
此時bn=

9an

(an+3)(an+1+3)

=

9×3×4n-2

(3×4n-2+3)(3×4n-1+3)

=

3×4n-2

(4n-2+1)(4n-1+1)

，
又b1=

9a1

(a1+3)(a2+3)

=

3

8

，
∴bn=

3 8 ，(n=1) 3×4n-2 (4n-2+1)(4n-1+1) ，(n≥2)

．                       
當n≥2時，
bn=

3×4n-2

(4n-2+1)(4n-1+1)

=

1

4n-2+1

-

1

4n-1+1

Tn=b1+b2+…+bn=

3

8

+(

1

42-2+1

-

1

42-1+1

)+…+(

1

4n-2+1

-

1

4n-1+1

)
=

7

8

-

1

4n-1+1

＜

7

8

．                                 
又因為對任意的正整數(shù)n都有b_n＞0，所以T_n單調(diào)遞增，即T_n≥T₁，
∵T1=b1=

3

8

＜

7

8

所以對于任意的正整數(shù)n，都有

3

8

≤Tn＜

7

8

成立．

點評：考查S_n與a_n的關(guān)系與分類討論的思想，在這里求數(shù)列通項公式以及運用單調(diào)性與放縮法求和的對計算能力也有一定的要求．