【題目】已知橢圓的離心率為，為橢圓上任意一點(diǎn)，且已知.

（1）若橢圓的短軸長為，求的最大值；

（2）若直線交橢圓的另一個(gè)點(diǎn)為，直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，且，三點(diǎn)共線，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【答案】（1）5；（2）

【解析】

（1）由，，解方程組得到橢圓的方程，再利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即可；

（2）當(dāng)斜率為時(shí)，三點(diǎn)共線；當(dāng)斜率不為時(shí)，設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用三點(diǎn)共線，即計(jì)算即可得到橢圓方程.

（1）由題意，∴，且，∴，

所以，

設(shè)，則

∵，故當(dāng)時(shí)，.

（2）當(dāng)斜率為時(shí)，三點(diǎn)共線；

當(dāng)斜率不為時(shí)，設(shè)直線，與橢圓，即聯(lián)立得：

，設(shè)，，則

，，

又由題知，，∴，

故由三點(diǎn)共線得，即，

∴，∴

代入韋達(dá)定理得：，∴，，

故橢圓方程為.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為2．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，如圖，過點(diǎn)分別作直線與，設(shè)直線交橢圓于另一點(diǎn)交橢圓于另一點(diǎn)，分別過和作橢圓的兩條切線，且兩條切線交于點(diǎn)，分別過和作橢圓的兩條切線，且兩條切線交于點(diǎn)．證明：點(diǎn)在直線上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為：（為參數(shù)，已知直線，直線以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．

（1）求曲線C以及直線，的極坐標(biāo)方程；

（2）若直線與曲線C分別交于O、A兩點(diǎn)，直線與曲線C分別交于O、B兩點(diǎn)，求的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知以線段EF為直徑的圓內(nèi)切于圓O：x2+y2＝16．

（1）若點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣2，0），求點(diǎn)E的軌跡C的方程；

（2）在（1）的條件下，軌跡C上存在點(diǎn)T，使得，其中M，N為直線y＝kx+b（b≠0）與軌跡C的交點(diǎn)，求△MNT的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）若不過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且滿足，求面積最大時(shí)直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) .

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，判斷的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，恒有，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率，是橢圓上一點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線的斜率為，且直線交橢圓于、兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，判斷直線與的斜率之和是否為定值，如果是，請(qǐng)求出此定值，如果不是，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線：上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為2.

（Ⅰ）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，直線過點(diǎn)且與拋物線交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)，之間），點(diǎn)滿足，求與的面積之和取得最小值時(shí)直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某地開發(fā)一片荒地，如圖，荒地的邊界是以C為圓心，半徑為1千米的圓周.已有兩條互相垂直的道路OE，OF，分別與荒地的邊界有且僅有一個(gè)接觸點(diǎn)A，B.現(xiàn)規(guī)劃修建一條新路（由線段MP，，線段QN三段組成），其中點(diǎn)M，N分別在OE，OF上，且使得MP，QN所在直線分別與荒地的邊界有且僅有一個(gè)接觸點(diǎn)P，Q，所對(duì)的圓心角為.記∠PCA＝（道路寬度均忽略不計(jì)）.

（1）若，求QN的長度；

（2）求新路總長度的最小值.

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