Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為2，A，B為其左右頂點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線C在第一象限的任意一點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若PA，PB，PO的斜率為k₁，k₂，k₃，則m=k₁k₂k₃的取值范圍為（　　）

• A、（0，3

  3

  ）
• B、（0，

  3

  ）
• C、（0，

  3

  9

  ）
• D、（0，8）

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由已知條件推導(dǎo)出b=

3

a，k₁k₂=

y

x+a

•

y

x-a

=

y2

x2-a2

=

b2

a2

=3，0＜k₃＜

3

，由此能求出m=k₁k₂k₃的取值范圍．

解答： 解：∵雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為2，
∴e=

c

a

=2，∴b=

c2-a2

=

3

a，
設(shè)P（x，y），∵點(diǎn)P為雙曲線C在第一象限的任意一點(diǎn)，∴

x2

a2

-

y2

b2

=1，
∵A，B為雙曲線C的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，PA，PB，PO的斜率為k₁，k₂，k₃，
∴k₁k₂=

y

x+a

•

y

x-a

=

y2

x2-a2

=

b2

a2

=3，
又∵雙曲線漸近線為y=±

3

x，∴0＜k₃＜

3

，
∴0＜m=k₁k₂k₃＜3

3

，
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查斜率乘積的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，要熟練掌握雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．