在△ABC中，點(diǎn)O滿足
BO
=2
OC
，過O點(diǎn)的直線分別交射線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若
AB
=m
AM
，
AC
=n
AN
，則mn的最大值是
 
．
考點(diǎn)：基本不等式
專題：不等式的解法及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用
分析：如圖所示，
BO
=
BA
+
AO
，
OC
=
OA
+
AC
，利用
BO
=2
OC
，可得
AO
=
1
3
m
AM
+
2
3
n
AN
．由于O、M、N三點(diǎn)共線，利用共線定理可得
1
3
m+
2n
3
=1，再利用基本不等式即可得出．
解答： 解：如圖所示，
BO
=
BA
+
AO
，
OC
=
OA
+
AC
，
∵
BO
=2
OC
，
∴-
AB
+
AO
=2(
AC
-
AO
)，
化為
AO
=
1
3
m
AM
+
2
3
n
AN
，
∵O、M、N三點(diǎn)共線，
∴
1
3
m+
2n
3
=1，化為m+2n=3．
只考慮m，n＞0的情況，3=m+2n≥2
2mn
，化為mn≤
9
8
，當(dāng)且僅當(dāng)m=2n=
3
2
時(shí)取等號(hào)．
故答案為：
9
8
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的三角形法則、向量共線定理、基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正數(shù)a，b滿足
1
a
+
4
b
=1，則3a+b的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且數(shù)列{Sn}為等比數(shù)列，則稱數(shù)列{an}為“和等比數(shù)列”．若{an}為和等比數(shù)列，且a1=1，a6=2a5，則an=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

關(guān)于x的不等式ax-b＞0的解集為（-∞，1），則不等式
x-2
ax-b
＞0的解集為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

口袋里裝有質(zhì)地相同的3個(gè)小球，其中紅球2個(gè)白球1個(gè)．今從中任取1個(gè)小球，記下其顏色后放回口袋；再從中任取1個(gè)小球，則兩次取出的小球顏色相同的概率是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知四面體P-ABC的外接球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，若四面體P-ABC的體積為
9
3
2
，則該球的體積為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在等差數(shù)列{an}中，a1=2，a2+a5=13，則a5+a6+a7=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A（1，2，-1）關(guān)于面 xOz 的對(duì)稱點(diǎn)為B，則
AB
=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)全集U=R，集合A={x|2 x2-2x＜1}，B={x|x＞1}，則集合A∩∁UB等于（　�。�
A、{x|0＜x＜1}
B、{x|0＜x≤1}
C、{x|0＜x＜2}
D、{x|x≤1}

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