Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)和為S_n=4-a_n-

1

2n-2

，
（Ⅰ）求a_n+1與a_n的關(guān)系；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得an+1=-an+1+an+

1

2n-1

，從而能求出an+1=

1

2

an+

1

2n

．
（Ⅱ）令bn=2nan，則數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，公差為2，即2ⁿa_n=2n，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答： 解：（Ⅰ）∵S_n=4-a_n-

1

2n-2

，①
∴S_n+1=4-a_n+1-

1

2n-1

，②
②-①得：an+1=-an+1+an+

1

2n-1

，
∴an+1=

1

2

an+

1

2n

．
（Ⅱ）∵an+1=

1

2

an+

1

2n

，
∴2n+1an+1=2nan+2，
令bn=2nan，則數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，公差為2，
∵a₁=S₁，∴a1=4-a1-

1

21-2

，解得a₁=1，
∴b₁=2a₁=2，
∴b_n=2+（n-1）×2=2n，
即2ⁿa_n=2n，
∴an=

2n

2n

=

n

2n-1

．

點(diǎn)評：本題考查a_n+1與a_n的關(guān)系的求法，考查數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．