Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a_n=2a_n-1+n-2（n≥2，且n∈N^*）
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）證明：數(shù)列{a_n+n}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）賦值：令n=2，n=3，能求出a₂，a₃的值．
（II）涉及到等差數(shù)列，等比數(shù)列的證明問題，只需按照定義證明即可，利用等比數(shù)列的定義證明，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求出{a_n+n}的通項(xiàng)公式，從而求出a_n．

解答： 解：（I）令n=2，得a₂=2a₁=6，
令n=3，得a₃=2a₂+1=13．（4分）
（II）∵

an+n

an-1+(n-1)

=

2an-1+n-2+n

an-1+n-1

=2，
∴數(shù)列{a_n+n}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，（7分）
∴an+n=4•2n-1=2n+1，
∴an=2n+1-n．（10分）

點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題，解題時要注意賦值法和等比數(shù)列性質(zhì)的合理運(yùn)用．