Question

【題目】已知函數(shù).

（1）設(shè)是的極值點，求，并求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時，證明.

Answer 1

【答案】（1），的單調(diào)遞減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由求得，再確定的正負，從而確定的單調(diào)區(qū)間；

（2）由得，，構(gòu)造新函數(shù)，，只要證明即可，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可．只是要注意的唯一解不可直接得出，只能通過的零點來研究的最小值，只要說明即可．

（1），

由是的極值點知，，即，所以.

于是，定義域為，且，

函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，

因此當(dāng)時，；當(dāng)時，，

所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，增區(qū)間為.

（2）當(dāng)，時，，從而，則

，

令，，則

在單調(diào)遞增，

且，，

故存在唯一的實數(shù)，使得.

當(dāng)時，，遞減；當(dāng)時，，遞增．

從而當(dāng)時，取最小值.

由得，則，，

故，

由知，，故，

即當(dāng)時，成立.