Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求的最小值；

（3）證明：當(dāng)時(shí)，.

Answer 1

【答案】(1) 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.

(2) 的最小值為.

(3)證明見解析.

【解析】分析：函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

（1）函數(shù)，據(jù)此可知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是

（2）由題意可知在上恒成立.據(jù)此討論可得的最小值為.

（3）問題等價(jià)于.構(gòu)造函數(shù)，則取最小值.

設(shè)，則.由于，據(jù)此可知題中的結(jié)論成立.

詳解：函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

（1）函數(shù)，

當(dāng)且時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，

單調(diào)遞增區(qū)間是

（2）因在上為減函數(shù)，

故在上恒成立.

所以當(dāng)時(shí)，，

又，

故當(dāng)，即時(shí)，.

所以，于是，

故的最小值為.

（3）問題等價(jià)于.

令，則，

當(dāng)時(shí)，取最小值.

設(shè)，則，

知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

∴.

∵，

∴，

∴

故當(dāng)時(shí)，.