Question

已知f（1，1）=1，f（m，n）∈N^*（m，n∈N^*），且對(duì)任意m，n∈N^*都有：
①f（m，n+1）=f（m，n）+3；②f（m+1，1）=2f（m，1）
對(duì)于以下四個(gè)命題：
（1）數(shù)列{f（m，2015）}是等比數(shù)列；
（2）數(shù)列{f（2015，n）}是等差數(shù)列；
（3）f（1，1）+（1，2）+…+f（1，2015）=2²⁰¹⁵-1；
（4）f（1，1）+f（2，1）+…+f（2015，1）=2²⁰¹⁵-1；
其中真命題的序號(hào)為：

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,數(shù)列的應(yīng)用,進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,簡(jiǎn)易邏輯

分析：根據(jù)條件可知{f（m，n）}是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，求出f（1，n），以及{f（m，1）}是以1為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列，求出f（n，1）和f（m，n+1），從而判斷（1），（2）的正誤；利用數(shù)列求和判斷（3），（4）的正誤．

解答： 解：∵f（m，n+1）=f（m，n）+3，
∴{f（m，n）}是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，
∴f（1，n）=2n-1；
又∵f（m+1，1）=2f（m，1），
∴{f（m，1）}是以1為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列，
∴f（n，1）=2^n-1，∴f（m，n）=2^m-1+2n-2；
對(duì)于（1），數(shù)列{f（m，2015）}，f（m，2015）=2^m-1+4028．?dāng)?shù)列不是等比數(shù)列，不滿足等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，（1）不正確；
對(duì)于（2），數(shù)列{f（2015，n）}，f（2015，n）=2²⁰¹⁴+2n-2，是n的一次函數(shù)，滿足等差數(shù)列通項(xiàng)公式，是等差數(shù)列，所以（2）正確；
對(duì)于（3），∵f（1，n）=2n-1，
∴f（1，1）+（1，2）+…+f（1，2015）=（2×1-1）+（2×2-1）+（2×3-1）+…+（2×2015-1）
=2（1+2+3+…+2015）-2015=2015²≠2²⁰¹⁵-1；
所以（3）不正確．
對(duì)于（4），{f（m，1）}是以1為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列，
∴f（n，1）=2^n-1，∴f（1，1）+f（2，1）+…+f（2015，1）=

1-22015

1-2

=2²⁰¹⁵-1．所以（4）正確．
故答案為：（2）、（4）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，推出f（n，1）=2^n-1，f（n，1）=2^n-1，f（m，n+1）=2^m-1+2n，是解答本題的關(guān)鍵，考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列求和，屬中檔題．