【題目】 已知函數(shù)(a為常數(shù)).

(Ⅰ)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)當時,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.(2)

【解析】試題分析:(1)先確定函數(shù)定義域,再求導函數(shù),進而求定義區(qū)間上導函數(shù)的零點,最后列表分析導函數(shù)符號并確定單調(diào)區(qū)間:增區(qū)間為,,減區(qū)間為.(2)不等式恒成立問題,一般轉(zhuǎn)化為對應函數(shù)最值問題: ,再利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,確定當時有最大值為,即得實數(shù)的取值范圍.

試題解析:解:(Ⅰ)函數(shù)的定義域為,

時, ,

,

得, ,

得,

∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,

單調(diào)減區(qū)間為

(Ⅱ)當時, 恒成立,

,

問題轉(zhuǎn)換為時,

,

①當時, ,

上單調(diào)遞增,

此時無最大值,故不合題意.

②當,令解得, ,

此時上單調(diào)遞增,

此時無最大值,故不合題意.

③當時,令解得, ,

時, ,

上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

,

,

上單調(diào)遞增,

,

時, ,

上小于或等于不恒成立,即不恒成立,

不合題意.

時, ,

而此時上單調(diào)遞減,

,符合題意.

綜上可知,實數(shù)的取值范圍是

(也可用洛必達法則)

練習冊系列答案
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質(zhì)量指標值分組

[75,85)

[8595)

[95,105)

[105,115)

[115,125)

頻數(shù)

6

26

38

22

8

(1)作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖

(2)估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);

(3)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù),能否認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定?

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喜歡游泳

不喜歡游泳

合計

男生

10

女生

20

合計

已知在這100人中隨機抽取1人抽到喜歡游泳的學生的概率為

(1)請將上述列聯(lián)表補充完整;

(2)并判斷是否有99.9%的把握認為喜歡游泳與性別有關(guān)?并說明你的理由;

(3)已知在被調(diào)查的學生中有5名來自甲班,其中3名喜歡游泳,現(xiàn)從這5名學生中隨機抽取2人,求恰好有1人喜歡游泳的概率.

下面的臨界值表僅供參考:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(參考公式:,其中

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(Ⅰ)得分的概率;

(Ⅱ)所得分數(shù)的數(shù)學期望.

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