Question

已知向量

a

=（sinx，

3

2

），

b

=（cosx，-1）
（1）當(dāng)

a

∥

b

時(shí)，求tanx的值；
（2）求f（x）=

a

•

b

+

b

2的最大值，并寫出函數(shù)f（x）取得最大值時(shí)自變量x的集合．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,平行向量與共線向量

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用向量共線定理和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出．．
（2）利用數(shù)量積運(yùn)算、倍角公式、兩角和差的正弦公式可得f（x）=

2

2

sin(2x+

π

4

)，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性有界性即可得出．

解答： 解：（1）∵

a

∥

b

，∴-sinx-

3

2

cosx=0，∴tanx=-

3

2

．
（2）f（x）=

a

•

b

+

b

2=sinxcosx-

3

2

+cos²x+1
=

1

2

sin2x-

1

2

+

1+cos2x

2

=

2

2

sin(2x+

π

4

)，
當(dāng)2x+

π

4

=

π

2

+2kπ時(shí)，即x=

π

8

+kπ（k∈Z）時(shí)，sin(2x+

π

4

)取得最大值1，此時(shí)f（x）取得最大值

2

2

．
即函數(shù)f（x）取得最大值

2

2

時(shí)自變量x的集合為{x|x=

π

8

+kπ，k∈Z}．

點(diǎn)評：本題綜合考查了向量共線定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、數(shù)量積運(yùn)算、倍角公式、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性有界性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．