Question

已知二項式（5x-

1

x

）ⁿ展開式中各項系數(shù)之和是各項二項式系數(shù)之和的16倍；
（1）求n；
（2）求展開式中二項式系數(shù)最大的項；
（3）求展開式中所有x的有理項．

Answer 1

考點：二項式系數(shù)的性質,二項式定理的應用

專題：二項式定理

分析：（1）由已知得：4ⁿ=16•2ⁿ，即 2²ⁿ=2ⁿ⁺⁴，由此求得 n的值．
（2）根據(jù)n=4，可得展開式中二項式系數(shù)最大的項為第三項，從而根據(jù)通項公式求得第三項．
（3）在通項公式中，令x的冪指數(shù)4-

3

2

r取整數(shù)，求得r的值，可得展開式中所有的有理項．

解答： 解：（1）由已知得：4ⁿ=16•2ⁿ，即 2²ⁿ=2ⁿ⁺⁴，∴2n=n+4，∴n=4．
（2）根據(jù)n=4，可得展開式中二項式系數(shù)最大的項為第三項，
即T3=(-1)2

C

2 4

52x=150x．
（3）根據(jù)通項公式為 T_r+1=

C

r 4

•5^4-r•（-1）^r•x4-

3

2

r，
令4-

3

2

r∈z，可得 r=0、2、4，
所以展開式中所有f（x）的有理項為：T₁=625x⁴，T₃=150x，T₅=x^-2．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項式系數(shù)的性質，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于中檔題．