Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（4）=1，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，已知函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示，若兩正數(shù)a、b滿(mǎn)足f（2a+b）＜1，則

b-1

a+1

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象判斷原函數(shù)的單調(diào)性，從而確定a、b的范圍得到答案

解答： 解：由圖可知，當(dāng)x＞0時(shí)，導(dǎo)函數(shù)f'（x）＞0，原函數(shù)單調(diào)遞增
∵兩正數(shù)a，b滿(mǎn)足f（2a+b）＜1，
∴0＜2a+b＜4，∴b＜4-2a，0＜a＜2，
∴

b-1

a+1

＜

4-2a-1

a+1

=-2+

5

a+1

，
∵0＜a＜2，
∴-

1

3

＜-2+

5

a+1

＜3，
故答案為：（-

1

3

，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減