Question

二次函數(shù)f（x）的圖象開口向下，且滿足f（x+2）=f（-x），若向量

a

=(log2m，1)，

b

=(-1，2)，則滿足不等式f（

a

•

b

）＜f（-1）的實(shí)數(shù)m的取值范圍

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：通過分類討論，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、數(shù)量積運(yùn)算即可得出．

解答： 解：∵二次函數(shù)f（x）的圖象開口向下，且滿足f（x+2）=f（-x），
∴f（x）關(guān)于直線x=1對(duì)稱．
∵

a

•

b

=-log2m+2，
∴f(

a

•

b

)=f（-log₂m+2）=f（log₂m），
∴不等式f（

a

•

b

）＜f（-1）可化為f（log₂m）＜f（-1）．
①當(dāng)log₂m≤1即0＜m＜2時(shí)，函數(shù)f（x）在（-∞，1]上單調(diào)遞增，
∴l(xiāng)og₂m＜-1，解得0＜m＜

1

2

．
此時(shí)得0＜m＜

1

2

．
②當(dāng)log₂m＞1，即m＞2時(shí)，
∵f（-1）=f（3），函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴l(xiāng)og₂m＞3，解得m＞2³=8．
此時(shí)可得m＞8．
綜上可知：實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，

1

2

）∪（8，+∞）．
故答案為：（0，

1

2

）∪（8，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分類討論、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．