【題目】“綠水青山就是金山銀山”的理念越來越深入人心,據(jù)此,某網站調查了人們對生態(tài)文明建設的關注情況,調查數(shù)據(jù)表明,參與調查的人員中關注生態(tài)文明建設的約占80%.現(xiàn)從參與調查的關注生態(tài)文明建設的人員中隨機選出200人,并將這200人按年齡(單位:歲)分組:第1組[15,25),第2組[25,35),第3組[35,45),第4組[45,55),第5組[55,65],得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(Ⅰ)求這200人的平均年齡(每一組用該組區(qū)間的中點值作為代表)和年齡的中位數(shù)(保留一位小數(shù));
(Ⅱ)現(xiàn)在要從年齡在第1,2組的人員中用分層抽樣的方法抽取5人,再從這5人中隨機抽取3人進行問卷調查,求抽取的3人中恰有2人的年齡在第2組中的概率;
(Ⅲ)若從所有參與調查的人(人數(shù)很多)中任意選出3人,設這3人中關注生態(tài)文明建設的人數(shù)為X,求隨機變量X的分布列與數(shù)學期望.
【答案】(Ⅰ)平均年齡為 (歲).中位數(shù)為42.1歲(Ⅱ)
(Ⅲ)分布列見解析,
【解析】
(Ⅰ)由頻率分布直方圖能求出,由此能求出這200人年齡的樣本平均數(shù)和中位數(shù).
(Ⅱ)第1,2組抽取的人數(shù)分別為2人,3人.設第2組中恰好抽取2人的事件為,利用排列組合能求出事件
的概率.
(Ⅲ)從所有參與調查的人中任意選出1人,關注環(huán)境治理和保護問題的概率為,
的所有可能取值為0,1,2,3,
,分別求出相應的概率,由此能求出
的分布列和數(shù)學期望.
解:(Ⅰ)由,得
,
平均年齡為 (歲).
設中位數(shù)為x歲,則,解得
,
故這200人年齡的中位數(shù)為42.1歲
(Ⅱ)易知從第1,2組中抽取的人數(shù)分別為2,3,
設“抽取的3人中恰有2人的年齡在第2組中”為事件A,
則
(Ⅲ)從所有參與調查的人員中任意選出1人,則其關注生態(tài)文明建設的概率為.
由題意知X的所有可能取值為0,1,2,3,
所以X的分布列為
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
因為,所以
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【題目】已知拋物線的方程為
,其焦點為
,
為過焦點
的拋物線
的弦,過
分別作拋物線的切線
,
,設
,
相交于點
.
(1)求的值;
(2)如果圓的方程為
,且點
在圓
內部,設直線
與
相交于
,
兩點,求
的最小值.
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【題目】一酒企為擴大生產規(guī)模,決定新建一個底面為長方形的室內發(fā)酵館,發(fā)酵館內有一個無蓋長方體發(fā)酵池,其底面為長方形
(如圖所示),其中
.結合現(xiàn)有的生產規(guī)模,設定修建的發(fā)酵池容積為450米
,深2米.若池底和池壁每平方米的造價分別為200元和150元,發(fā)酵池造價總費用不超過65400元
(1)求發(fā)酵池邊長的范圍;
(2)在建發(fā)酵館時,發(fā)酵池的四周要分別留出兩條寬為4米和米的走道(
為常數(shù)).問:發(fā)酵池的邊長如何設計,可使得發(fā)酵館占地面積最小.
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【題目】已知函數(shù),
.
(1)當時,求函數(shù)
在
上的單調性;
(2)是否存在實數(shù),使得函數(shù)
在
上的最小值為3,若存在,求出
的值,若不存在,請說明理由;
(3)當,求證:
.
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【題目】已知函數(shù),其中
、
是非空數(shù)集,且
,設
,
;
(1)若,
,求
;
(2)是否存在實數(shù),使得
,且
?若存在,請求出滿足條件的實數(shù)
;若不存在,請說明理由;
(3)若,且
,
,
是單調遞增函數(shù),求集合
、
;
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【題目】如果一個實數(shù)數(shù)列滿足條件:
(
為常數(shù),
,則這一數(shù)列為“偽等差數(shù)列”,
稱“偽公差”.給出下列關于某個偽等差數(shù)列
的結論:其中正確的結論是__________________.
①對于任意的首項,若
,則這一數(shù)列必為有窮數(shù)列;
②當時,這一數(shù)列必為單調遞増數(shù)列;
③這一數(shù)列可以是周期數(shù)列;
④若這一數(shù)列的首項為1,偽公差為3,可以是這一數(shù)列中的一項.
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【題目】已知函數(shù)
(1)若a=1,求f(x)的極值;
(2)若存在x0∈[1,e],使得f(x0)<g(x0)成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】某職業(yè)學校有2000名學生,校服務部為了解學生在校的月消費情況,隨機調查了100名學生,并將統(tǒng)計結果繪成直方圖如圖所示.
(1)試估計該校學生在校月消費的平均數(shù);
(2)根據(jù)校服務部以往的經驗,每個學生在校的月消費金額(元)和服務部可獲得利潤
(元),滿足關系式:
根據(jù)以上抽樣調查數(shù)據(jù),將頻率視為概率,回答下列問題:
(i)將校服務部從一個學生的月消費中,可獲得的利潤記為,求
的分布列及數(shù)學期望.
(ii)若校服務部計劃每月預留月利潤的,用于資助在校月消費低于400元的學生,估計受資助的學生每人每月可獲得多少元?
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