Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的零點.

（2）當(dāng)，求函數(shù)在上的最大值；

（3）對于給定的正數(shù)，有一個最大的正數(shù)，使時，都有，試求出這個正數(shù)的表達(dá)式.

Answer 1

【答案】（1）零點為和1.（2）.（3）

【解析】

（1）分類討論得到解析式，分別在和兩種情況下構(gòu)造方程求得零點；

（2）分類討論得到解析式，可確定最大值在中取得，分別在、和三種情況下根據(jù)函數(shù)單調(diào)性確定最大值，從而得到結(jié)果；

（3）將問題轉(zhuǎn)化為恒成立的問題；分別在和兩種情況下確定的值，從而得到結(jié)果.

（1）當(dāng)時，，

令，解得：或（舍）；

令，解得：；

函數(shù)的零點為和；

（2）由題意得：，其中，

，最大值在中取.

當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，；

當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，

；

當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，

；

，；

綜上所述：；

（3）時，，，，

問題轉(zhuǎn)化為在給定區(qū)間內(nèi)恒成立.

，分兩種情況討論：

當(dāng)時，是方程的較小根，

即時，；

當(dāng)時，是方程的較大根，

即時，；

綜上所述：.