Question

討論函數f（x）=

ax

1-x2

（-1＜x＜1，a∈R）的單調性．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：首先，在（-1，1）上任意取值，再作差、變形，然后，根據式子的特點，對a進行分類討論判斷符號、下結論．

解答： 解：當a＞0時，f（x）在（-1，1）是減函數，
當a＜0時，f（x）在（-1，1）上是增函數，
當a=0時，f（x）在（-1，1）上不具有單調性．
證明如下：
設-1＜x₁＜x₂＜1，
則f（x1）-f（x2）=

ax1

1-x12

-

ax2

1-x22

=

a(x2-x1)(x1x2+1)

(x22-1)(x12-1)

，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁x₂+1＞0，x₂-x₁＞0，x12-1＜0，x22-1＜0
∴

(x1 x2+1)(x2-x1)

(x22-1)(x12-1)

＞0，
∴當a＞0時，f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）在（-1，1）是減函數，
當a＜0時，f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在（-1，1）上是增函數，
當a=0時，f（x）=0，∴f（x）在（-1，1）上不具有單調性．

點評：本題考查函數單調性的證明方法：定義法，關鍵是變形，直到能明顯的判斷出符號為止，本題屬于中檔題，注意分類討論思想在解題中的靈活運用．