Question

15．已知全集U=R，集合A={x|x²-3x+2≤0}，B={x|x²-2ax+a≤0，a∈R}．
（1）當(dāng)A∩B=A時(shí)，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)A∪B=A時(shí)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)A∩B=A時(shí)，A⊆B，構(gòu)造函數(shù)，建立不等式，即可求a的取值范圍；
（2）當(dāng)A∪B=A時(shí)，得B⊆A，構(gòu)造函數(shù)，分類(lèi)討論求a的取值范圍．

解答 解：（1）A=[1，2]，…（1分，）
當(dāng)A∩B=A時(shí)，A⊆B，
記f（x）=x²-2ax+a
由$\left\{\begin{array}{l}f（1）≤0\\ f（2）≤0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}1-2a+a≤0\\ 4-4a+a≤0\end{array}\right.$，得$a≥\frac{4}{3}$．
即a的取值范圍是$[\frac{4}{3}，+∞）$．…（4分）
（2）由A∪B=A，得B⊆A．
記f（x）=x²-2ax+a．
①當(dāng)△=（-2a）²-4a＜0，即0＜a＜1時(shí)，B=∅，滿(mǎn)足題意； …（5分）
②當(dāng)△=0即a=0或a=1時(shí)，
若a=0，則B={x|x²≤0}={0}，不合題意；…（6分）
若a=1，則B={x|（x-1）²≤0}={1}⊆A，滿(mǎn)足題意；  …（7分）
③當(dāng)△＞0時(shí)，f（x）=x²-2ax+a的圖象與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)．
由B⊆A，知方程x²-2ax+a=0的兩根位于1，2之間．
從而$\left\{\begin{array}{l}△=4{a^2}-4a＞0\\ 1＜a＜2\\ f（1）≥0\\ f（2）≥0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}a＜0或a＞1\\ 1＜a＜2\\ a≤1\\ a≤\frac{4}{3}\end{array}\right.$，故a∈∅．…（11分）
綜上，a的取值范圍是（0，1]．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查集合的關(guān)系與運(yùn)算，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．