【題目】已知橢圓 的一個焦點與拋物線的焦點相同， 為橢圓的左、右焦點． 為橢圓上任意一點， 面積的最大值為1．

（1）求橢圓的方程；

（2）直線交橢圓于兩點．若直線與的斜率分別為，且．求證：直線過定點，并求出該定點的坐標．

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）由拋物線的焦點為可以得到橢圓的半焦距，而的面積的最大值為，利用算出，從而，橢圓方程為．（2）先設(shè)出和直線的方程 ，把轉(zhuǎn)化為，故聯(lián)立方程組消去再利用韋達定理把這個關(guān)于的關(guān)系式化簡為，所以直線 恒過定點，該定點坐標為．

解析：

（1）由拋物線的方程得其焦點為，所以橢圓中，當點為橢圓的短軸端點時， 面積最大，此時，所以，所以橢圓的方程為．

（2）聯(lián)立得， ，得，

設(shè)，則，又，整理得，即

，化簡得，所以直線的方程為，因此直線 恒過定點，該定點坐標為．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)離心率為 的橢圓E： + =1（a＞b＞0）的左、右焦點為F1 ， F2 ， 點P是E上一點，PF1⊥PF2 ， △PF1F2內(nèi)切圓的半徑為 ﹣1．
（1）求E的方程；
（2）矩形ABCD的兩頂點C、D在直線y=x+2，A、B在橢圓E上，若矩形ABCD的周長為 ，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若直線： 與橢圓相交于， 兩點（， 不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點.求證：直線過定點，并求出該定點的坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】全國大學生機器人大賽是由共青團中央，全國學聯(lián)，深圳市人民政府聯(lián)合主辦的賽事，是中國最具影響力的機器人項目，是全球獨創(chuàng)的機器人競技平臺.全國大學生機器人大賽比拼的是參賽選手們的能力，堅持和態(tài)度，展現(xiàn)的是個人實力以及整個團隊的力量.2015賽季共吸引全國240余支機器人戰(zhàn)隊踴躍報名，這些參賽戰(zhàn)隊來自全國六大賽區(qū)，150余所高等院校，其中不乏北京大學，清華大學，上海交大，中國科大，西安交大等眾多國內(nèi)頂尖高校，經(jīng)過嚴格篩選，最終由111支機器人戰(zhàn)隊參與到2015年全國大學生機器人大賽的激烈角逐之中，某大學共有“機器人”興趣團隊1000個，大一、大二、大三、大四分別有100，200，300，400個，為挑選優(yōu)秀團隊，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從以上團隊中抽取20個團隊.

（1）應(yīng)從大三抽取多少個團隊？

（2）將20個團隊分為甲、乙兩組，每組10個團隊，進行理論和實踐操作考試（共150分），甲、乙兩組的分數(shù)如下：

甲：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142

乙：127，116，144，127，144，116，140，140，116，140

從甲、乙兩組中選一組強化訓(xùn)練，備戰(zhàn)機器人大賽.從統(tǒng)計學數(shù)據(jù)看，若選擇甲組，理由是什么？若選擇乙組，理由是什么？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱錐A－BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD .

（1）求證：CD⊥平面ABD；

（2）若AB＝BD＝CD＝1，M為AD中點，求三棱錐A－MBC的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】拋物線x2=ay（a＞0）的準線l與y軸交于點P，若l繞點P以每秒 弧度的角速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)t秒鐘后，恰與拋物線第一次相切，則t等于（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)點M到坐標原點的距離和它到直線l：x=﹣m（m＞0）的距離之比是一個常數(shù) ．
（Ⅰ）求點M的軌跡；
（Ⅱ）若m=1時得到的曲線是C，將曲線C向左平移一個單位長度后得到曲線E，過點P（﹣2，0）的直線l1與曲線E交于不同的兩點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），過F（1，0）的直線AF、BF分別交曲線E于點D、Q，設(shè) =α ， =β ，α、β∈R，求α+β的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】函數(shù)在區(qū)間上的圖像如圖所示，將該函數(shù)圖像上各點的橫坐標縮短到原來的一半（縱坐標不變），再向右平移個單位長度后，所得到的圖像關(guān)于直線對稱，則的最小值為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓過點，離心率為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過橢圓的上頂點作直線交拋物線于兩點， 為原點.

①求證： ；

②設(shè)、分別與橢圓相交于、兩點，過原點作直線的垂線，垂足為，證明: 為定值.

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