Question

已知定直線l及定點A（A不在l上），n為過點A且垂直于l的直線，設N為l上任意一點，線段AN的垂直平分線交n于B，點B關于AN的對稱點為P，求證：點P的軌跡為拋物線．

Answer 1

證明：如圖所示，建立平面直角坐標系，并且連結PA，PN，NB．
由題意知PB垂直平分AN，且點B關于AN的對稱點為P，
∴AN也垂直平分PB．
∴四邊形PABN為菱形，
∴PA=PN．
∵AB⊥l，∴PN⊥l．
故點P符合拋物線上點的條件：到定點A的距離和到定直線l的距離相等，
∴點P的軌跡為拋物線．