Question

（2012•宣城模擬）已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)任意n∈N^*，有2a_n=S_n+n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)f（n）=n² （n∈N^*），試比較S_n與f（n）的大小，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過(guò)已知條件構(gòu)造新數(shù)列，求出新數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求出S_n，通過(guò)比較n=1，2，比較S_n與f（n）的大小，猜想n≥3時(shí)的結(jié)果，利用二項(xiàng)式定理證明即可．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=a₁+1∴a₁=1…（1分）
∵2a_n=S_n+n，n∈N^*，∴2a_n-1=S_n-1+n-1，n≥2，
兩式相減得a_n=2a_n-1+1，n≥2，即a_n+1=2（a_n-1+1），n≥2，
令b_n=a_n+1，則

bn

bn-1

=2，n≥2且b₁=a₁+1=2，
所以b_n=b₁•2^n-1=2×2^n-1=2ⁿ．n∈N^*，
∴a_n=2ⁿ-1，n∈N^*…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）a_n=2ⁿ-1，n∈N^*，
得S_n=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-n
=

2(1-2n+1)

1-2

-n
=2ⁿ⁺¹-n-2
當(dāng)n=1，2時(shí)，S_n=f（n）；當(dāng)n≥3時(shí)，S_n＞f（n）…（9分）
只需證2ⁿ⁺¹＞n²+n+2，n≥3，
利用(1+1)2=

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n n

＞

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

=

1

2

(n2+n+2)．
∴2ⁿ⁺¹＞n²+n+2，n≥3．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，二項(xiàng)式定理證明不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想；也可用數(shù)學(xué)歸納法證，也可構(gòu)造函數(shù)s（x）=2^x+1，f（x）=x²+x+2，利用導(dǎo)數(shù)證明，方法比較多．