（本小題滿分12分）
已知曲線上的點到點的距離比它到直線的距離小2.
（1）求曲線的方程；
（2）曲線在點處的切線與軸交于點.直線分別與直線及軸交于點，以為直徑作圓，過點作圓的切線，切點為，試探究：當點在曲線上運動（點與原點不重合）時，線段的長度是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論.

（1）.（2）當點P在曲線上運動時，線段AB的長度不變，證明見解析.

解析試題分析：（1）思路一：設(shè)為曲線上任意一點，
依題意可知曲線是以點為焦點，直線為準線的拋物線，
得到曲線的方程為.
思路二：設(shè)為曲線上任意一點，
由，化簡即得.
（2）當點P在曲線上運動時，線段AB的長度不變，證明如下：
由（1）知拋物線的方程為，
設(shè)，得，
應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，確定切線的斜率，進一步得切線的方程為.
由，得.
由，得.
根據(jù)，得圓心，半徑，
由弦長，半徑及圓心到直線的距離之關(guān)系，確定.
試題解析：解法一：（1）設(shè)為曲線上任意一點，
依題意，點S到的距離與它到直線的距離相等，
所以曲線是以點為焦點，直線為準線的拋物線，
所以曲線的方程為.
（2）當點P在曲線上運動時，線段AB的長度不變，證明如下：
由（1）知拋物線的方程為，
設(shè)，則，
由，得切線的斜率
，
所以切線的方程為，即.
由，得.
由，得.
又，所以圓心，
半徑，
.
所以點P在曲線上運動時，線段AB的長度不變.

解法二：
（1）設(shè)為曲線上任意一點，
則，
依題意，點只能在直線的上方，所以，
所以，
化簡得，曲線的方程為.
（2）同解法一.
考點：拋物線的定義，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

橢圓的離心率為，其左焦點到點的距離為．
(1) 求橢圓的標準方程；
(2) 若直線與橢圓相交于兩點(不是左右頂點)，且以為直徑的圓過橢圓的右頂點，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標．

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橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，兩焦點F1，F(xiàn)2之間的距離為2，橢圓上第一象限內(nèi)的點P滿足PF1⊥PF2，且△PF1F2的面積為1．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若橢圓C的右頂點為A，直線l：y＝kx＋m(k≠0)與橢圓C交于不同的兩點M，N，且滿足AM⊥AN．求證：直線l過定點，并求出定點的坐標．

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已知橢圓過點，且離心率為.斜率為的直線與橢圓交于兩點，以為底邊作等腰三角形，頂點為.
（1）求橢圓的方程；
（2）求的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)已知動直線y＝k(x＋1)與橢圓C相交于A，B兩點．
①若線段AB中點的橫坐標為－，求斜率k的值；
②已知點M(－，0)，求證：·為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：（）的左焦點為，離心率為.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設(shè)O為坐標原點，T為直線上任意一點，過F作TF的垂線交橢圓C于點P，Q.當四邊形OPTQ是平行四邊形時，求四邊形OPTQ的面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的一個焦點為，離心率為.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若動點為橢圓外一點，且點到橢圓的兩條切線相互垂直，求點的軌跡方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，為橢圓在軸正半軸上的焦點，、兩點在橢圓上，且，定點.
（1）求證：當時；
（2）若當時有，求橢圓的方程；
（3）在（2）的橢圓中，當、兩點在橢圓上運動時，試判斷 是否有最大值，若存在，求出最大值，并求出這時、兩點所在直線方程，若不存在，給出理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本題滿分13分）如圖，分別過橢圓：左右焦點、的動直線相交于點，與橢圓分別交于不同四點，直線的斜率、、、滿足．已知當軸重合時，，．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在定點，使得為定值．若存在，求出點坐標并求出此定值，若不存在，說明理由．

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