已知橢圓的離心率為，為橢圓在軸正半軸上的焦點(diǎn)，、兩點(diǎn)在橢圓上，且，定點(diǎn).
（1）求證：當(dāng)時(shí)；
（2）若當(dāng)時(shí)有，求橢圓的方程；
（3）在（2）的橢圓中，當(dāng)、兩點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷 是否有最大值，若存在，求出最大值，并求出這時(shí)、兩點(diǎn)所在直線(xiàn)方程，若不存在，給出理由.

（1）詳見(jiàn)解析；（2）（3）存在，最大值為，直線(xiàn)方程為，或

解析試題分析：（1）設(shè)，從而可得各向量的坐標(biāo)。當(dāng)時(shí)，可得與，與間的關(guān)系。將點(diǎn)代入橢圓方程，結(jié)合與，與間的關(guān)系可得，即（2）當(dāng)時(shí)由（1）知且故可設(shè)。根據(jù)和及解方程組可求得的值。（3）根據(jù)向量數(shù)量積公式及三角形面積公式分析可知。設(shè)直線(xiàn)的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去 整理為關(guān)于的一元二次方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系。從而可用表示。用配方法求最值。注意討論直線(xiàn)斜率不存在和斜率為0兩種特殊情況。
（1）設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，
由M，N兩點(diǎn)在橢圓上，
若，則舍，
 
（2）當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)
又，
，橢圓C的方程為 
（3），
設(shè)直線(xiàn)的方程為
聯(lián)立，得，

記 ，
則 
，當(dāng)，即時(shí)取等號(hào) ．
并且，當(dāng)k=0時(shí)，
當(dāng)k不存在時(shí)
綜上有最大值，最大值為
此時(shí)，直線(xiàn)的方程為，或
考點(diǎn)：1向量的數(shù)量積；2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)及方程；3直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系。

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓：的短軸長(zhǎng)為，且斜率為的直線(xiàn)過(guò)橢圓的焦點(diǎn)及點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知直線(xiàn)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)P、Q.
（ⅰ）若滿(mǎn)足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的面積；
（ⅱ）若直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸都不垂直，點(diǎn)在軸上，且使為的一條角平分線(xiàn)，則稱(chēng)點(diǎn)為橢圓的“特征點(diǎn)”，求橢圓的特征點(diǎn)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（本小題滿(mǎn)分12分）
已知曲線(xiàn)上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線(xiàn)的距離小2.
（1）求曲線(xiàn)的方程；
（2）曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與軸交于點(diǎn).直線(xiàn)分別與直線(xiàn)及軸交于點(diǎn)，以為直徑作圓，過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)為，試探究：當(dāng)點(diǎn)在曲線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)與原點(diǎn)不重合）時(shí)，線(xiàn)段的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖,為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,離心率為;雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)分別為,離心率為,已知,且.
(1)求的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)作的不垂直于軸的弦,為的中點(diǎn),當(dāng)直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)時(shí),求四邊形面積的最小值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓：.
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)為原點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在直線(xiàn)上，且，試判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2） 以橢圓的長(zhǎng)軸為直徑作圓，設(shè)為圓上不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn)，為軸上一點(diǎn)，過(guò)圓心作直線(xiàn)的垂線(xiàn)交橢圓右準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)．問(wèn)：直線(xiàn)能否與圓總相切，如果能，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不能，說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（12分）（2011•福建）如圖，直線(xiàn)l：y=x+b與拋物線(xiàn)C：x2=4y相切于點(diǎn)A．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)b的值；
（Ⅱ）求以點(diǎn)A為圓心，且與拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)相切的圓的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓C：.
（1）求橢圓C的離心率；
（2）設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在直線(xiàn)，點(diǎn)B在橢圓C上，且，求線(xiàn)段AB長(zhǎng)度的最小值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（2011•浙江）已知拋物線(xiàn)C1：x2=y，圓C2：x2+（y﹣4）2=1的圓心為點(diǎn)M
（1）求點(diǎn)M到拋物線(xiàn)C1的準(zhǔn)線(xiàn)的距離；
（2）已知點(diǎn)P是拋物線(xiàn)C1上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作圓C2的兩條切線(xiàn)，交拋物線(xiàn)C1于A，B兩點(diǎn)，若過(guò)M，P兩點(diǎn)的直線(xiàn)l垂直于AB，求直線(xiàn)l的方程．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案