Question

經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查：生產(chǎn)某產(chǎn)品需投入年固定成本為3萬元，每生產(chǎn)x萬件，需另投入流動(dòng)成本為W（x）萬元，在年產(chǎn)量不足8萬件時(shí)，（萬元），在年產(chǎn)量不小于8萬件時(shí)，（萬元）．通過市場(chǎng)分析，每件產(chǎn)品售價(jià)為5元時(shí)，生產(chǎn)的商品能當(dāng)年全部售完．
（1）寫出年利潤(rùn)L（x）（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)解析式；
（注：年利潤(rùn)=年銷售收入-固定成本-流動(dòng)成本）
（2）年產(chǎn)量為多少萬件時(shí)，在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

Answer 1

解：（1）因?yàn)槊考�產(chǎn)品售價(jià)為5元，則x（萬件）商品銷售收入為5x萬元，依題意得：
當(dāng)0＜x＜8時(shí)，L（x）=5x-（ x²+x）-3=-x²+4x-3，
當(dāng)x≥8時(shí)，L（x）=5x-（6x+-38）-3=35-（x+），
∴L（x）=．
（2）當(dāng)0＜x＜8時(shí)，L（x）=-（x-6）²+9，此時(shí)，當(dāng)x=6時(shí)，L（x）取得最大值9；
當(dāng)x≥8時(shí)，L（x）=35-（x+）≤35-2 =15，
此時(shí)，當(dāng)x=即x=10時(shí)，L（x）取得最大值15；
∵9＜15，
∴年產(chǎn)量為10萬件時(shí)，這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是15萬元．
分析：（1）根據(jù)年利潤(rùn)=銷售額-投入的總成本-固定成本，分0＜x＜8和當(dāng)x≥8兩種情況得到L與x的分段函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)0＜x＜8時(shí)根據(jù)二次函數(shù)求最大值的方法來求L的最大值，當(dāng)x≥8時(shí)，利用基本不等式來求L的最大值，最后綜合即可．
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生根據(jù)實(shí)際問題選擇合適的函數(shù)類型的能力，以及運(yùn)用基本不等式求最值的能力．