Question

小王大學(xué)畢業(yè)后，決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè)．經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本為3萬(wàn)元，每生產(chǎn)x萬(wàn)件，需另投入流動(dòng)成本為W（x）萬(wàn)元，在年產(chǎn)量不足8萬(wàn)件時(shí)，W(x)=

1

3

x2+x（萬(wàn)元）．在年產(chǎn)量不小于8萬(wàn)件時(shí)，W(x)=6x+

100

x

-38（萬(wàn)元）．每件產(chǎn)品售價(jià)為5元．通過(guò)市場(chǎng)分析，小王生產(chǎn)的商品能當(dāng)年全部售完．
（I）寫(xiě)出年利潤(rùn)L（x）（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬(wàn)件）的函數(shù)解析式；
（注：年利潤(rùn)=年銷售收入-固定成本-流動(dòng)成本）
（II）年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

Answer 1

分析：（I）根據(jù)年利潤(rùn)=銷售額-投入的總成本-固定成本，分0＜x＜8和當(dāng)x≥8兩種情況得到L與x的分段函數(shù)關(guān)系式；
（II）當(dāng)0＜x＜8時(shí)根據(jù)二次函數(shù)求最大值的方法來(lái)求L的最大值，當(dāng)x≥8時(shí)，利用基本不等式來(lái)求L的最大值，最后綜合即可．

解答：解：（I）因?yàn)槊考�產(chǎn)品售價(jià)為5元，則x（萬(wàn)件）商品銷售收入為5x萬(wàn)元，依題意得：
當(dāng)0＜x＜8時(shí)，L（x）=5x-（

1

3

x2+x）-3=-

1

3

x²+4x-3，
當(dāng)x≥8時(shí)，L（x）=5x-（6x+

100

x

-38）-3=35-（x+

100

x

），
∴L（x）=

- 1 3 x2+4x-3，0＜x＜8 35-(x+ 100 x )，x≥8

．
（II）當(dāng)0＜x＜8時(shí)，L（x）=-

1

3

（x-6）²+9，此時(shí)，當(dāng)x=6時(shí)，L（x）取得最大值9；
當(dāng)x≥8時(shí)，L（x）=35-（x+

100

x

）≤35-2

x× 100 x

=15，
此時(shí)，當(dāng)x=

100

x

即x=10時(shí)，L（x）取得最大值15；
∵9＜15，
∴年產(chǎn)量為10萬(wàn)件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是15萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇合適的函數(shù)類型的能力，以及運(yùn)用基本不等式求最值的能力．