Question

【題目】如圖，已知拋物線C：y2=4x，過焦點F斜率大于零的直線l交拋物線于A、B兩點，且與其準線交于點D．
（Ⅰ）若線段AB的長為5，求直線l的方程；
（Ⅱ）在C上是否存在點M，使得對任意直線l，直線MA，MD，MB的斜率始終成等差數(shù)列，若存在求點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）焦點F（1，0）
∵直線l的斜率不為0，所以設l：x=my+1，
A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）
由 得y2﹣4my﹣4=0，
y1+y2=4m，y1y2=﹣4，
，
，
∴ ，
∴ ．
∴直線l的斜率k2=4，
∵k＞0，∴k=2，
∴直線l的方程為2x﹣y﹣2=0．
（Ⅱ）設M（a2 ， 2a），
kMA= = ，
同理，kMB= ，kMD= ，
∵直線MA，MD，MB的斜率始終成等差數(shù)列，
∴2 = + 恒成立；
∴ = ，
又∵y1+y2=4m，y1y2=﹣4，
∴（a2﹣1）（m+ ）=0，
∴a=±1，
∴存在點M（1，2）或M（1，﹣2），使得對任意直線l，
直線MA，MD，MB的斜率始終成等差數(shù)列．

【解析】（Ⅰ）設l：x=my+1，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），則聯(lián)立方程化簡可得y2﹣4my﹣4=0，從而可得 ，從而求直線l的方程；
（Ⅱ）設M（a2 ， 2a），則kMA= = ，kMB= ，kMD= ，則 = ，從而可得（a2﹣1）（m+ ）=0，從而求出點M的坐標．
【考點精析】利用一般式方程對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知直線的一般式方程：關于的二元一次方程（A，B不同時為0）．