【題目】如圖，已知拋物線C：y2=4x，過焦點(diǎn)F斜率大于零的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，且與其準(zhǔn)線交于點(diǎn)D．
（Ⅰ）若線段AB的長為5，求直線l的方程；
（Ⅱ）在C上是否存在點(diǎn)M，使得對任意直線l，直線MA，MD，MB的斜率始終成等差數(shù)列，若存在求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【答案】解：（Ⅰ）焦點(diǎn)F（1，0）
∵直線l的斜率不為0，所以設(shè)l：x=my+1，
A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）
由 得y2﹣4my﹣4=0，
y1+y2=4m，y1y2=﹣4，
，
，
∴ ，
∴ ．
∴直線l的斜率k2=4，
∵k＞0，∴k=2，
∴直線l的方程為2x﹣y﹣2=0．
（Ⅱ）設(shè)M（a2 ， 2a），
kMA= = ，
同理，kMB= ，kMD= ，
∵直線MA，MD，MB的斜率始終成等差數(shù)列，
∴2 = + 恒成立；
∴ = ，
又∵y1+y2=4m，y1y2=﹣4，
∴（a2﹣1）（m+ ）=0，
∴a=±1，
∴存在點(diǎn)M（1，2）或M（1，﹣2），使得對任意直線l，
直線MA，MD，MB的斜率始終成等差數(shù)列．

【解析】（Ⅰ）設(shè)l：x=my+1，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），則聯(lián)立方程化簡可得y2﹣4my﹣4=0，從而可得 ，從而求直線l的方程；
（Ⅱ）設(shè)M（a2 ， 2a），則kMA= = ，kMB= ，kMD= ，則 = ，從而可得（a2﹣1）（m+ ）=0，從而求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】利用一般式方程對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知直線的一般式方程：關(guān)于的二元一次方程（A，B不同時(shí)為0）．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項(xiàng)a1=1，公比q＞0，其前n項(xiàng)和為Sn，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差數(shù)列．

（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足，Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，若Tn≥m恒成立，求m的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 對任意n∈N* ， 點(diǎn)（an ， Sn）都在函數(shù) 的圖象上．
（1）求數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1和通項(xiàng)公式an；
（2）若數(shù)列{bn}滿足 ，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn；
（3）已知數(shù)列{cn}滿足 ．若對任意n∈N* ， 存在 ，使得c1+c2+…+cn≤f（x）﹣a成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知f（x）是定義在[（﹣2，0）∪（0，2）]上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0，f（x）的圖象如圖所示，那么f（x）的值域是 ．

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【題目】如圖，某生態(tài)園將一塊三角形地的一角開辟為水果園，已知角為， 的長度均大于200米，現(xiàn)在邊界處建圍墻，在處圍竹籬笆.

（1）若圍墻、總長度為200米，如何可使得三角形地塊面積最大？

（2）已知竹籬笆長為米， 段圍墻高1米， 段圍墻高2米，造價(jià)均為每平方米100元，求圍墻總造價(jià)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知命題p：x∈A，且A={x|a﹣1＜x＜a+1}，命題q：x∈B，且B={x|x2﹣4x+3≥0}

（Ⅰ）若A∩B=，A∪B=R，求實(shí)數(shù)a的值；

（Ⅱ）若p是q的充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)向量， ，其中為的兩個(gè)內(nèi)角.

（1）若，求證： 為直角；

（2）若，求證： 為銳角.

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【題目】已知函數(shù).

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求a，b的值；

（2）如果是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)， 為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，證明：

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【題目】如圖，在直角梯形中， ， ， ，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將沿折起，使平面平面，連接， ， ，得到如圖所示的幾何體．

（Ⅰ）求證： 平面．

（Ⅱ）若， 與其在平面內(nèi)的正投影所成角的正切值為，求點(diǎn)到平面的距離．

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