【題目】已知函數(shù),
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)若函數(shù)和的圖像有兩個(gè)交點(diǎn),它們的橫坐標(biāo)分別為,求證:
【答案】(1)(2)證明見解析
【解析】
(1)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),得到,求出,,進(jìn)而可得出結(jié)果;
(2)先令,對(duì)函數(shù)求導(dǎo),得到,分別討論,,三種情況,用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,最值等,即可證明結(jié)論成立.
(1)因?yàn)?/span>,
所以,
所以,又,
所以切線方程為:,即.
(2)令,依題意有兩個(gè)零點(diǎn).
又,
①當(dāng),則,只有一個(gè)零點(diǎn),
②當(dāng),由得或.
若,則,故當(dāng)時(shí),,
因此在上單調(diào)遞增.
又當(dāng)時(shí),,所以不存在兩個(gè)零點(diǎn).
若,則,故當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),.
因此在單調(diào)遞減,在)單調(diào)遞增.
又當(dāng)時(shí),,所以不存在兩個(gè)零點(diǎn).
③當(dāng),則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
又,,取滿足且,
則,
故存在兩個(gè)零點(diǎn);
不妨設(shè),由③知,,,在上單調(diào)遞減,所以等價(jià)于,即.
由于,而,
所以.
設(shè),則.
所以當(dāng)時(shí),,而,故當(dāng)時(shí),.
從而,故
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】焦點(diǎn)在軸上的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),橢圓的離心率為.,是橢圓的左、右焦點(diǎn),為橢圓上任意點(diǎn).
(1)若面積為,求的值;
(2)若點(diǎn)為的中點(diǎn)(為坐標(biāo)原點(diǎn)),過(guò)且平行于的直線交橢圓于兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù),使得;若存在,請(qǐng)求出的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且.
(1) 證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2) 記,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若函數(shù)滿足:對(duì)于任意正數(shù),,都有,,且,則稱函數(shù)為“速增函數(shù)”.
(1)試判斷函數(shù)與是否是“速增函數(shù)”;
(2)若函數(shù)為“速增函數(shù)”,求的取值范圍;
(3)若函數(shù)為“速增函數(shù)”,且,求證:對(duì)任意,都有.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,是某海灣旅游區(qū)的一角,其中,為了營(yíng)造更加優(yōu)美的旅游環(huán)境,旅游區(qū)管委會(huì)決定在直線海岸和上分別修建觀光長(zhǎng)廊和AC,其中是寬長(zhǎng)廊,造價(jià)是元/米,是窄長(zhǎng)廊,造價(jià)是元/米,兩段長(zhǎng)廊的總造價(jià)為120萬(wàn)元,同時(shí)在線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)處建一個(gè)觀光平臺(tái),并建水上直線通道(平臺(tái)大小忽略不計(jì)),水上通道的造價(jià)是元/米.
(1) 若規(guī)劃在三角形區(qū)域內(nèi)開發(fā)水上游樂(lè)項(xiàng)目,要求的面積最大,那么和的長(zhǎng)度分別為多少米?
(2) 在(1)的條件下,建直線通道還需要多少錢?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】程大位是明代著名數(shù)學(xué)家,他的《新編直指算法統(tǒng)宗》是中國(guó)歷史上一部影響巨大的著作.卷八中第33問(wèn):“今有三角果一垛,底闊每面七個(gè).問(wèn)該若干?”如圖是解決該問(wèn)題的程序框圖.執(zhí)行該程序框圖,求得該垛果子的總數(shù)S為( )
A.28B.56C.84D.120
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的首項(xiàng),前n項(xiàng)和為Sn,且Sn+1+Sn=λ..
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn=λnan,求{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最大值和最小值;
(2)若函數(shù)為上的單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)的最大值為,最小值為,則( )
A.存在實(shí)數(shù),使
B.存在實(shí)數(shù),使
C.對(duì)任意實(shí)數(shù),有
D.對(duì)任意實(shí)數(shù),有
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