Question

【題目】已知數(shù)列a，b，c是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d（d＞0）．在a，b之間和b，c之間共插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這n+3個(gè)數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，其公比為q．

（1）求證：|q|＞1；

（2）若a＝1，n＝1，求d的值；

（3）若插入的n個(gè)數(shù)中，有s個(gè)位于a，b之間，t個(gè)位于b，c之間，且s，t都為奇數(shù)，試比較s與t的大小，并求插入的n個(gè)數(shù)的乘積（用a，c，n表示）．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．（3）當(dāng)n＝4k﹣2（k∈N*）時(shí)，積為；當(dāng)n＝4k（k∈N*）時(shí)，積為．

【解析】

（1）先由條件求出知，又有c＝a+2d代入即可得|qn+2|＞1，就可證明結(jié)論；

（2）先求出b＝1+d，c＝1+2d，然后對(duì)插入的數(shù)分所在位置所存在的兩種情況分別求出d的值即可；

（3）先由條件求得|q|s+1＞|q|t+1s＞t．然后再對(duì)q所存在的可為正數(shù)，也可為負(fù)數(shù)兩種情況分別求出插入的n個(gè)數(shù)的乘積即可．

（1）由題意知，c＝a+2d，

又a＞0，d＞0，可得，

即|qn+2|＞1，故|q|n+2＞1，又n+2是正數(shù)，故|q|＞1．

（2）由a，b，c是首項(xiàng)為1、公差為d的等差數(shù)列，故b＝1+d，c＝1+2d，

若插入的這一個(gè)數(shù)位于a，b之間，則1+d＝q2，1+2d＝q3，

消去q可得（1+2d）2＝（1+d）3，即d3﹣d2﹣d＝0，其正根為．

若插入的這一個(gè)數(shù)位于b，c之間，則1+d＝q，1+2d＝q3，

消去q可得1+2d＝（1+d）3，即d3+3d2+d＝0，此方程無(wú)正根．

故所求公差．

（3）由題意得，，又a＞0，d＞0，

故，可得，又，

故qs+1＞qt+1＞0，即|q|s+1＞|q|t+1．

又|q|＞1，故有s+1＞t+1，即s＞t．

設(shè)n+3個(gè)數(shù)所構(gòu)成的等比數(shù)列為an，則，

由akan+4﹣k＝a1an+3＝ac（k＝2，3，4，n+2），

可得（a2a3an+2）2＝（a2an+2）（a3an+1）（an+1a3）（an+2a2）＝（ac）n+1，

又，，

由s，t都為奇數(shù)，則q既可為正數(shù)，也可為負(fù)數(shù)，

①若q為正數(shù)，則a2a3an+2，插入n個(gè)數(shù)的乘積為；

②若q為負(fù)數(shù)，a2，a3，an+2中共有個(gè)負(fù)數(shù)，

故a2a3，所插入的數(shù)的乘積為．

所以當(dāng)n＝4k﹣2（k∈N*）時(shí)，所插入n個(gè)數(shù)的積為；

當(dāng)n＝4k（k∈N*）時(shí)，所插入n個(gè)數(shù)的積為．