Question

設函數(shù)，.
（1）若曲線與在它們的交點處有相同的切線，求實數(shù)、的值；
（2）當時，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；
（3）當，時，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

試題分析：（1）從條件“曲線與在它們的交點處有相同的切線”得到以及，從而列有關、的二元方程組，從而求出與的值；（2）將代入函數(shù)的解析式，利用導數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，確定函數(shù)在區(qū)間上是單峰函數(shù)后，然后對函數(shù)的端點值與峰值進行限制，列不等式組解出的取值范圍；（3）將，代入函數(shù)的解析式，并求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對函數(shù)的極值點是否在區(qū)間內(nèi)進行分類討論，結合函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)在區(qū)間上的最小值.
試題解析：（1）因為，，所以，.
因為曲線與在它們的交點處有相同切線，
所以，且，
即,且，解得，；
（2）當時，，
所以，
令，解得，，
當變化時，、的變化情況如下表：

	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.
故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.
從而函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個零點，當且僅當 ，
即，解得.
所以實數(shù)的取值范圍是.
（3）當，時，．
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為．
由于，，所以．
①當，即時， ；
②當時，；
③當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，；
綜上可知，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為
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