【題目】在一個(gè)半徑為1的半球材料中截取兩個(gè)高度均為的圓柱，其軸截面如圖所示．設(shè)兩個(gè)圓柱體積之和為．

(1)求的表達(dá)式，并寫出的取值范圍；

(2）求兩個(gè)圓柱體積之和的最大值．

【答案】(1)見解析 (2)

【解析】試題分析：（1）圓柱的高、底面的半徑和球的半徑是一個(gè)直角三角形的三邊，故可以得到兩個(gè)圓柱的底面半徑分別為， ，由此可以計(jì)算出兩個(gè)圓柱的體積之和以及的取值范圍．（2）因?yàn)?/span>，利用導(dǎo)數(shù)討論該函數(shù)的單調(diào)性，從而求得的最大值為．

解析：（1）自下而上兩個(gè)圓柱的底面半徑分別為： ， ．它們的高均為，所以體積之和

．

因?yàn)?/span>，所以的取值范圍是．

(2) 由，得，令，因?yàn)?/span>，得． 所以當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ．所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)， 取得極大值也是最大值， 的最大值為．

答：兩個(gè)圓柱體積之和的最大值為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】①在同一坐標(biāo)系中，與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；

②是奇函數(shù)；

③的圖象關(guān)于成中心對(duì)稱；

④的最大值為；

⑤的單調(diào)增區(qū)間：。

以上五個(gè)判斷正確有____________________（寫上所有正確判斷的序號(hào)）。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)A(0，－2)，橢圓E： (a>b>0)的離心率為，F是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求E的方程；

(2)設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn).當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn ， 已知a1=1， =12．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式an；
（2）bn= ，bn的前n項(xiàng)和Tn ， 求證；Tn＜ ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓C經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0),8(0,3)，圓心C在第一象限，線段AB的垂直平分線交圓C 于點(diǎn)D,E,且DE =2．

（1）求直線DE的方程；

（2）求圓C的方程；

（3）過點(diǎn)（0,4）作圓C的切線，求切線的斜率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)的圖像可以由y=cos2x的圖像先縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，最后向右平移個(gè)單位而得到.

⑴求f(x)的解析式與最小正周期；

⑵求f(x)在x∈(0，π)上的值域與單調(diào)性.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知三棱柱，側(cè)面.

(Ⅰ)若分別是的中點(diǎn)，求證： ；

(Ⅱ)若三棱柱的各棱長均為2，側(cè)棱與底面所成的角為，問在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面?若存在，求與的比值，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對(duì)于實(shí)數(shù)x，記[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[3.14]=3，[﹣0.25]=﹣1．若存在實(shí)數(shù)t，使得[t]=1，[t2]=2，[t3]=3…[tt]=n同時(shí)成立，則正整數(shù)n的最大值為 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

（1）作出函數(shù)f(x)的大致圖象；

（2）寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（3）當(dāng)時(shí)，由圖象寫出f(x)的最小值.

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