Question

【題目】如圖，在平行四邊形中，，，現(xiàn)沿對(duì)角線將折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P，點(diǎn)M，N分別在直線，上，且A，B，M，N四點(diǎn)共面.

（1）求證：；

（2）若平面平面，二面角平面角大小為，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)余弦定理，可得，利用//，可得//平面，然后利用線面平行的性質(zhì)定理，//，最后可得結(jié)果.

（2）根據(jù)二面角平面角大小為，可知N為的中點(diǎn)，然后利用建系，計(jì)算以及平面的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，可得結(jié)果.

（1）不妨設(shè)，則，

在中,

，

則，

因?yàn)?/span>，

所以，因?yàn)?/span>//，

且A、B、M、N四點(diǎn)共面，所以//平面.

又平面平面，所以//.

而，.

（2）因?yàn)槠矫?/span>平面，且，

所以平面，，

因?yàn)?/span>，所以平面，，

因?yàn)?/span>，平面與平面夾角為，

所以，在中，易知N為的中點(diǎn)，

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，

，，

，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則由，

令，得.

設(shè)與平面所成角為，

則.