【題目】已知圓心為的圓過點,且與直線相切于點

1)求圓的方程;

2)已知點,且對于圓上任一點,線段上存在異于點的一點,使得為常數(shù)),試判斷使的面積等于4的點有幾個,并說明理由。

【答案】(1)(2)使的面積等于4的點2

【解析】

1)利用條件設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,由圓過點t,確定圓方程.

2)設(shè),由確定阿波羅尼斯圓方程,與圓C為同一圓,可得,求出N點的坐標(biāo),建立ON方程,再利用面積求點P到直線的距離,

判斷與ON平行且距離為的兩條直線與圓C的位置關(guān)系可得結(jié)論.

1)依題意可設(shè)圓心坐標(biāo)為,則半徑為,

的方程可寫成,

因為圓過點,∴,∴,

則圓的方程為。

2)由題知,直線的方程為,設(shè)滿足題意,

設(shè),則,所以,

因為上式對任意恒成立,所以,且

解得(舍去,與重合)。

所以點,則,直線方程為,

到直線的距離

若存在點使的面積等于4,則,

。

①當(dāng)點在直線的上方時,點到直線的距離的取值范圍為

,

∴當(dāng)點在直線的上方時,使的面積等于4的點有2個;

②當(dāng)點在直線的下方時,點到直線的距離的取值范圍為,

∴當(dāng)點在直線的下方時,使的面積等于4的點有0個,

綜上可知,使的面積等于4的點2個。

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