【題目】已知橢圓 +y2=1的左右焦點(diǎn)分別為F1 , F2 , 直線l過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F2與橢圓交于A,B 兩點(diǎn), (Ⅰ)當(dāng)直線l的斜率為1,點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn),滿足使得△ABP的面積為 的點(diǎn)P有幾個(gè)?并說(shuō)明理由.
(Ⅱ)△ABF1的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值及此時(shí)直線l的方程,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】解:(Ⅰ)由題意可知:橢圓 +y2=1焦點(diǎn)在x軸上,右焦點(diǎn)F2(1,0), 設(shè)直線l的方程為:y=x﹣1,則 ,整理得:3x2﹣4x=0,
解得:x1=0,x2= ,
則|AB|= |x1﹣x2|= ,
設(shè)點(diǎn)P到直線l的距離為d,則S△ABP= |AB|d= × ×d= ,
解得:d= ,
設(shè)P(x0 , y0),則P到直線l的距離d= ,
令t=x0﹣y0﹣1,由 ,代入整理得:x02+2(x0﹣1﹣t)2=2,
化簡(jiǎn)整理得:3x02﹣4(1+t)x0+2t2+4t=0,
由△≥0,解得:﹣ ﹣1≤t≤﹣ +1,
當(dāng)﹣ ﹣1≤t<0,橢圓上方的點(diǎn)到直線l的距離的最大值為 > ,
則橢圓上存在兩個(gè)這樣的點(diǎn)P,使得△ABP的面積S△ABP= ,
當(dāng)0≤t≤﹣ +1,橢圓下方的點(diǎn)到直線l的距離的最大值為 < ,
則橢圓下方不存在這樣的P點(diǎn),使得△ABP的面積S△ABP= ,
綜上可知:橢圓上存在這樣的P點(diǎn)有二個(gè);
(Ⅱ)△ABF1的內(nèi)切圓的半徑為r, = (|AF1|+|BF1|+|AB|)×r= 4a×r,
∴要使內(nèi)切圓的面積最大,即使得△ABF1最大,設(shè)直線l:x=my+1,
∴ ,整理得:(m2+2)y2+2my﹣1=0…10分
由△=8(1+m2)>0,
|y1﹣y2|= = ,
設(shè)點(diǎn)F1到直線l的距離為h則: = |AB|×h= = ,
令t= ,t≥0,則 = = ≤ = ,
當(dāng)且僅當(dāng)t= ,即m=0時(shí), 取得最大值,
∴△ABF1面積最大值為 ,
則rmax= ,
∴△ABF1的內(nèi)切圓的面積最大值為 ,此時(shí)直線l的方程為x=1
【解析】(Ⅰ)由橢圓 +y2=1焦點(diǎn)在x軸上,右焦點(diǎn)F2(1,0),設(shè)直線l的方程為:y=x﹣1,代入橢圓方程,利用兩點(diǎn)之間的距離公式,求得丨AB丨,根據(jù)三角形的面積公式求得點(diǎn)P到直線l的距離為d,利用點(diǎn)到直線的距離公式與d比較即可求得P點(diǎn)坐標(biāo);(Ⅱ)△ABF1的內(nèi)切圓的半徑為r, = 4a×r,要使內(nèi)切圓的面積最大,即使得△ABF1最大,將直線方程代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理,點(diǎn)到直線的距離公式及基本不等式的性質(zhì),即可求得得△ABF1最大值,求得內(nèi)切圓的半徑及面積和直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中點(diǎn),PA⊥底面ABCD,PA= .
(Ⅰ)證明:平面PBE⊥平面PAB;
(Ⅱ)求二面角A﹣BE﹣P的大小.
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【題目】如圖(1)五邊形中,
,將沿折到的位置,得到四棱錐,如圖(2),點(diǎn)為線段的中點(diǎn),且平面.
(1)求證:平面平面;
(2)若四棱柱的體積為,求四面體的體積.
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【題目】若函數(shù)f(x),g(x)分別是R上的奇函數(shù)、偶函數(shù),且滿足f(x)+g(x)=2x , 則有( )
A.f(3)<g(0)<f(4)
B.g(0)<f(4)<f(3)
C.g(0)<f(3)<f(4)
D.f(3)<f(4)<g(0)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(, ),曲線在處的切線方程為.
(Ⅰ)求, 的值;
(Ⅱ)證明: ;
(Ⅲ)已知滿足的常數(shù)為.令函數(shù)(其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù), ),若是的極值點(diǎn),且恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知,在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù));在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程是.
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為, 為直線, 的交點(diǎn),求的最大值.
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【題目】設(shè)全集為R,集合A={x||x|≤2},B={x| >0},則A∩RB=( )
A.[﹣2,1)
B.[﹣2,1]
C.[﹣2,2]
D.[﹣2,+∞)
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【題目】已知橢圓的離心率為,過(guò)左焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與橢圓相交,所得弦長(zhǎng)為1,斜率為 ()的直線過(guò)點(diǎn),且與橢圓相交于不同的兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)在軸上是否存在點(diǎn),使得無(wú)論取何值, 為定值?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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