【題目】如圖(1)五邊形中,
,將沿折到的位置,得到四棱錐,如圖(2),點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn),且平面.
(1)求證:平面平面;
(2)若四棱柱的體積為,求四面體的體積.
【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2).
【解析】試題分析:
(1)要證兩平面垂直,就要證線(xiàn)面垂直,首先利用已知條件與平面垂直,為此取的中點(diǎn),可證得四邊形為平行四邊形,所以,從而平面,也即
.于是由即及為的中點(diǎn),可得為等邊三角形,
,由,得, ,可得平面平面平面.
(2)利用棱錐體積公式,三棱錐的底面的面積是四棱錐的底面面積的,高為其一半,由體積公式可得結(jié)論.
試題解析:
(1)證明:取的中點(diǎn),連接,則,
又,所以,則四邊形為平行四邊形,所以,
又平面,
∴平面,
∴.
由即及為的中點(diǎn),可得為等邊三角形,
∴,
又,∴,∴,
∴平面平面,
∴平面平面.
(2)解:設(shè)四棱錐的高為,四邊形的面積為,
則,
又,四面體底面上的高為.
∴,
所以四面體的體積為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,坐標(biāo)平面上一點(diǎn)P滿(mǎn)足: 的周長(zhǎng)為6,記點(diǎn)P的軌跡為.拋物線(xiàn)以為焦點(diǎn),頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O.
(Ⅰ)求, 的方程;
(Ⅱ)若過(guò)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn),問(wèn)在上且在直線(xiàn)外是否存在一點(diǎn),使直線(xiàn)的斜率依次成等差數(shù)列,若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)在橢圓上, ,過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓分別交于兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程及離心率;
(2)若的面積為為坐標(biāo)原點(diǎn),求直線(xiàn)的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某印刷廠(chǎng)為了研究印刷單冊(cè)書(shū)籍的成本(單位:元)與印刷冊(cè)數(shù)(單位:千冊(cè))之間的關(guān)系,在印制某種書(shū)籍時(shí)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),相關(guān)數(shù)據(jù)見(jiàn)下表:
印刷冊(cè)數(shù)(千冊(cè)) | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 |
單冊(cè)成本(元) | 3.2 | 2.4 | 2 | 1.9 | 1.7 |
根據(jù)以上數(shù)據(jù),技術(shù)人員分別借助甲、乙兩種不同的回歸模型,得到兩個(gè)回歸方程,方程甲: ,方程乙: .
(1)為了評(píng)價(jià)兩種模型的擬合效果,完成以下任務(wù).
①完成下表(計(jì)算結(jié)果精確到0.1);
印刷冊(cè)數(shù)(千冊(cè)) | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 | |
單冊(cè)成本(元) | 3.2 | 2.4 | 2 | 1.9 | 1.7 | |
模型甲 | 估計(jì)值 | 2.4 | 2.1 | 1.6 | ||
殘差 | 0 | -0.1 | 0.1 | |||
模型乙 | 估計(jì)值 | 2.3 | 2 | 1.9 | ||
殘差 | 0.1 | 0 | 0 |
②分別計(jì)算模型甲與模型乙的殘差平方和及,并通過(guò)比較, 的大小,判斷哪個(gè)模型擬合效果更好.
(2)該書(shū)上市之后,受到廣大讀者熱烈歡迎,不久便全部售罄,于是印刷廠(chǎng)決定進(jìn)行二次印刷.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,新需求量為8千冊(cè)(概率0.8)或10千冊(cè)(概率0.2),若印刷廠(chǎng)以每?jī)?cè)5元的價(jià)格將書(shū)籍出售給訂貨商,問(wèn)印刷廠(chǎng)二次印刷8千冊(cè)還是10千冊(cè)能獲得更多利潤(rùn)?(按(1)中擬合效果較好的模型計(jì)算印刷單冊(cè)書(shū)的成本)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的離心率為 ,設(shè)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),橢圓上任意一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M到左焦點(diǎn)F1的距離的最大值 為 +1 (Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線(xiàn)L的斜率為k,且過(guò)左焦點(diǎn)F1 , 與橢圓C相交于P、Q兩點(diǎn),若△PQF2的面積為 ,試求k的值及直線(xiàn)L的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,P為BC的中點(diǎn),Q為線(xiàn)段CC1上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S. ①當(dāng) 時(shí),S為四邊形
②截面在底面上投影面積恒為定值
③不存在某個(gè)位置,使得截面S與平面A1BD垂直
④當(dāng) 時(shí),S與C1D1的交點(diǎn)滿(mǎn)足C1R1=
其中正確命題的個(gè)數(shù)為 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓 +y2=1的左右焦點(diǎn)分別為F1 , F2 , 直線(xiàn)l過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F2與橢圓交于A(yíng),B 兩點(diǎn), (Ⅰ)當(dāng)直線(xiàn)l的斜率為1,點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn),滿(mǎn)足使得△ABP的面積為 的點(diǎn)P有幾個(gè)?并說(shuō)明理由.
(Ⅱ)△ABF1的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值及此時(shí)直線(xiàn)l的方程,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b,c,d,以下四個(gè)命題中的真命題是( )
A.若a>b,c≠0則ac>bc
B.若a>b>o,c>d則ac>bd
C.若a>b,則
D.若ac2>bc2則a>b
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